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[数学]東北大学2011前期「3」

東北大学2011前期「3」
先生と 3 人の生徒 A, B, C がおり, 玉の入った箱がある。箱の中には最初, 赤玉 3 個, 白玉 7 個, 全部で 10 個の玉が入っている。先生がサイコロをふって, 1 の目が出 たらAが, 2または3の目が出たらBが, その他の目が出たらCが箱の中から1つだ け玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず, 取り出した生徒のもの とする。この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ。
ただし, サイコロの 1 から 6 の目の出る確率は等しいものとし, また, 箱の中のそ れぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(1) 2 回目の操作が終わったとき, A が 2 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(2) 2 回目の操作が終わったとき, B が少なくとも 1 個の赤玉を手に入れている確率
を求めよ。
(3) 3 回目の操作で, C が赤玉を取り出す確率を求めよ。



(1) 2 回目の操作が終わったとき, A が 2 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
赤玉=r
白玉=w
(ABCから選んだもの,玉の色)
であらわすと
234.jpg
1/540


(2) 2 回目の操作が終わったとき, B が少なくとも 1 個の赤玉を手に入れている確率
を求めよ。

全部かいてみるねん
そしたらみやすいねんて
235.jpg

これを計算します
236.jpg

26/135


(3) 3 回目の操作で, C が赤玉を取り出す確率を求めよ。
これはさっきまでを考えたら
一回目と二回目にどの色がでたかで、三回目の確率がかわるのね
赤玉が減れば三回目の確率もへるよね
237.jpg


場合をかんがえると、

ⅰ)赤→赤→Cが赤
238.jpg

ⅱ)赤→白→Cが赤
239.jpg

ⅲ)白→赤→Cが赤
240.jpg

ⅳ)白→白→Cが赤
241.jpg

以上より
242.jpg

3/20


これは場合がすくないから、全部かいてみることを考えてつきすすんでみたらなんかできてしまった。
ってかんじやったな

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2012-07-31 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東北大学2011前期「2」

東北大学2011前期「2」
a を実数とする。円 C は点(a, −a)で直線y=−xを接線にもち, 点(0, 1)を通る
ものとする。Cの中心をP(X, Y)として, 以下の問いに答えよ。

(1) X, Y を a を用いて表せ。
(2) a が動くときの点 P の軌跡と直線 y = 1 で囲まれる図形の面積を求めよ。

(1) X, Y を a を用いて表せ。
Cは半径rとしたらこうやな
C:(x-X)2+(y-Y)2=r2

これが(0,1)を通るから、
X2+(1-Y)2=r2・・・①

(a,-a)でのCの接線は、

(a-X)x+(-a-Y)(y-Y)=r2

229.jpg

こいつが、y=-xと等しいから、
230.jpg


(2) a が動くときの点 P の軌跡と直線 y = 1 で囲まれる図形の面積を求めよ。
XとYをaっていう変数で媒介となってます
aをけしてもよかったんやけど、
見慣れない式がでてきそうやったからやめました

X,Yをaで微分していきます

dX/da= 2(a+1)
dY/da=2a
より、
増減表は
231.jpg

だから、こうなんともいえないグラフができます
232.jpg


あとは単純な積分計算やな
233.jpg


これはたぶんaを消去しにかかったら迷宮入りするんちゃうか\(^o^)/

2012-07-31 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東北大学2011前期「1」

東北大学2011前期「1」
実数a に対し, 不等式 y≦2ax −a2 +2a+2の表す座標平面上の領域をD( a )とお
く。
(1) −1≦a≦2を満たすすべてのa に対しD(a)の点となるような点(p,q)の範囲を
図示せよ。
(2) −1≦a≦2を満たすいずれかのaに対しD(a)の点となるような点(p,q)の範囲
を図示せよ。


(1) −1≦a≦2を満たすすべてのa に対しD(a)の点となるような点(p,q)の範囲を
図示せよ。

こういう変数いっぱいのやつって
主役をかえるとすっきりできたりするということが多い

逆像法というのかな?
224.jpg

aが変数の式とかんがえるわけやな
すごすっきりしたようなきがする
これを満たすのは

f(-1)≦0
かつ
f(2)≦0

q≦-2p-1
かつ
q≦4p+2

このはんいだったらいいわけだ
よって図示したらおk
225.jpg


(2) −1≦a≦2を満たすいずれかのaに対しD(a)の点となるような点(p,q)の範囲
を図示せよ。

これはおれは
いずれかのaに対し

なんかaがいっこでも

少なくとも1つのaに対して

全部ダメの反対

ってかんがえてやってみた
つまりこういうこと
226.jpg


軸がa=p+1の二次方程式だから
軸の位置で場合わけする
227.jpg

求めるのはこいつらの条件の逆の部分だから
228.jpg

境界は含む


逆って何を持って逆っていってるのかわからんけどな
余事象や余事象

2012-07-31 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都府立医科大学前期「3」

京都府立医科大学前期「3」
aを正の実数とする。座標平面において, 曲線C1 : y = √a(x+2) (x≧−2)と
曲線C2: y = √(x2+2x)( x≧0)を考える。
曲線C1と曲線C2およびx 軸で囲まれた部分の面積をS1(a)とし,
曲線C1と曲線C2および直線x=2aで囲まれた部分の面積をS2(a)とする。
(1)∫(-2→2a) √(ax+2a) dx + を求めよ。
(2)f(a)=S1(a)−S2(a)とおく。
関数f(a)が極値をとるようなaの値を求めよ。
(3)∫(0→2a) √(x2+2x) dx > 2a2 であることを証明せよ。
(4)S1(a)=S2(a)となるようなaが存在することを証明せよ。


(1)∫(-2→2a) √(ax+2a) dx + を求めよ。
積分系は問題書くのがたいへんやな
これは普通

aは定数でxについて積分するだけ
212.jpg



(2)f(a)=S1(a)−S2(a)とおく。
C1とC2の交点を連立して求めたら
x=aとすぐわかります
イメージはこんなんで
213.jpg


S1とS2
214.jpg

だからf(a)は
215.jpg

ほんでな
値を直接求めにいこうと思ってんけど
むりなんよね
なんでかって
√(x2+2x)
の積分ができへんのよ。高校の知識ではな!
参考に
マスマティカより
MSP23282374262244840751_70.jpg

なんか理解できへんほど難解なわけや
だから方向転換して
このまま微分してみることにした
216.jpg


ここで悩んだのはやっぱ√(x2+2x)
こいつやわ
これの原始関数をFとすると
積分したやつは
F(2a)-F(0)
こんなんなるやんか
で、aについての変数は
F(2a)のとこだけやな
だから微分したらF(0)の部分がきえるんだな
それがわかったらもう普通やから

f'(a)は
217.jpg

増減表は
218.jpg

極大値があるわけで
220.jpg



(3)∫(0→2a) √(x2+2x) dx > 2a2 であることを証明せよ。
これはさっきとおんなじ感じで
一気に微分してみた
220.jpg



(4)S1(a)=S2(a)となるようなaが存在することを証明せよ。
f(a)=S1-S2=0となるaがあることを示せばいい!

(3)をなんとかつかってみると
221.jpg

これの図をかんがえてみるわけやな
223.jpg

となって

a=αでS(α)=S(α)
になる

これはけっこう計算汚いし重かったな

2012-07-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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やってもた!

数学時間足りなかった!
ほんでマークずれてる!


うわー\(^o^)/
どこでずれたのかきになる!

2012-07-29 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都府立医科大学2011前期「4」

恐怖医と名高くない京都府立大学

京都府立医科大学2011前期「4」
nを5以上の整数とする。平面上に点Oをとる。Oを通る直線上にOA0=1とな
る点A0を一つとる。点O を中心として直線OA0を正の向きに角2π/nだけ回転した
直線上にOA1⊥A0A1となる点A1をとる。
次に, 点Oを中心として直線OA1を正の向きに角2π/nだけ回転した直線上に
OA2⊥A1A2となる点A2をとる。以下同様にして
k=3,4,...,nについて, 点O を中心として直線OAk-1
正の向きに角2π/nだけ回転した直線上にOAk⊥Ak-1Akとなる点
Akをとる。特に,点Anは線分OA0上の点となる。

(1)不等式1-x2/2≦cosx を証明せよ。
(2) 線分OAnの長さをrnとする。
極限値lim(n→∞) rnを求めよ。
(3) 線分A0A1,A1A2,...,An-1Anの長さの和をLnとする。
極限値lim(n→∞) Lnを求めよ。



(1)不等式1-x2/2≦cosx を証明せよ。
f(x)=cosx-1+x2/2
f'(x)=-sinx+x>0

増減表は
165.jpg

よってf(x)≧0より示された。

次。
なんかよくわからんし、図をかいてみるときれいな関係がみえてくるな
208.jpg

(1)から、
1-2π2/n2 ≦cos2π/n <1・・・①

n≧5から、
2/n2 ≦ 2π2/25 <1だから
0<1-2π2/n2

n乗するから、プラスかマイナスかを確認しときました
これをn乗しますと求めたそうな不等式がみえるんやけど、
一番左のやつ
(1-2π2/n2)n

このひとが1になってくれないとはさみうちできないのや

だからこいつを収束させにいきます
1より小さいのは明らかだな

(1-2π2/n2)n
これみたら、

lim(x→0) (1+x)1/x =eを思い出したい

ってか極限でこんなかっこの中に
1+なんか
これの何乗とかきたら高い確率でこれつかうきがする。
\(^o^)/

みやすくするために
h=-2π2/n2 とおくと、
n→∞のとき、h→-0 となるから
209.jpg

これではさめる!

lim(n→∞) rn=1
答え

(3)
これもさっきの図から
すぐわかって、
210.jpg

これはたぶん答え2πになるやろなって当たりをつけて、
sinをつかうことにした

絵をかいてたらわかるけどこれ円周のながさにちかづくのよね

2012-07-28 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2007前期乙「4」

京都大学2007前期乙「4」
点 O を中心とする円に内接する△ABC の 3 辺 AB, BC, CA をそれぞれ2 : 3に内分
する点を P, Q, R とする。△PQR の外心が点 O と一致するとき, △ABC はどのよう
な三角形か。



イメージはこんなん
204.jpg

OXベクトル=xベクトルと書く(X=A,B,C,P,Q,R)

p,q,rベクトルは
205.jpg


で、三角形PQRの外接円の中心がOとなるから、

|pベクトル|=|qベクトル|=|rベクトル|
やな

|aベクトル|=|bベクトル|=|cベクトル|
これをつかって計算しまくったら、
|pベクトル|=|qベクトル|=|rベクトル|

206.jpg

ふむふむ
ほんで、
内積の等式がでたからずのように角度をおいてみる
207.jpg



cosα=cosγ
cosα=cosβ

cosα=cos(α+β)
cosα=cosβ
0<α,β,γ<2πより
α=β=γ=2π/3しかとれない

よってこれは正三角形である


こういう
なんかどんな形ですかー?みたいなやつって
大概キレイな形になるよね
これをふまえとけば頭のつかいかたが変わってくるかもしらん

2012-07-28 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2007前期乙「2」

口内炎がいたひ
京都大学2007前期乙「2」
x, y を相異なる正の実数とする。数列{an} を
a1 = 0 ,an+1=xan+yn+1( n = 1, 2, 3, ....)
によって定めるとき,
lim(n→∞) が有限の値に収束するような座標平面上の点( x, y ) の
範囲を図示せよ。

とりあえず、定数みたいなとこをけしたくなりました
黄チャ数B基本例題99からの発想やな

an+2=xan+1+yn+2
-
yan+1=yxan+yn+2

より、
an+22-yan+1=xan+1-xyan
これは三項間漸化式?
やってみる
197.jpg


差をとると、
198.jpg

anがわかるわけや

さて、nの変化によって揺さぶられるやつは

(yn-1-xn-1)

こいつらやな
これは場合わけやな
199.jpg


こいつらをなんかかっこよくグラフにしたらオッケー!
200.jpg



これは一般項もとめたら意外と形がきれいでかんがえやすかったかもしれん

2012-07-28 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]九州大学2010前期「4」

九州大学2010前期「4」
中心が( 0, a ) , 半径a の円をxy 平面上のx 軸の上をx の正の方向に滑らないよう
に転がす。このとき円上の定点P が原点( 0, 0 )を出発するとする。次の問いに答え
よ。
(1) 円が角t だけ回転したとき, 点P の座標を求めよ。
(2) t が0 から2π まで動いて円が1 回転したときの点P の描く曲線をC とする。曲
線C とx 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。
(3) (2)の曲線の長さを求めよ。


これは・・・サイクロイドさんや!

こういうやつのやりかた決まってるから助かる

(1) 円が角t だけ回転したとき, 点P の座標を求めよ。
Ot=(X,a)とする

ころがった部分と弧の長さは等しいから
192.jpg


X=at
よってOt=(at,a)

OPtベクトル=OOtベクトル+OtPtベクトル
だから
193.jpg



(2) t が0 から2p まで動いて円が1 回転したときの点P の描く曲線をC とする。曲
線C とx 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。


これはまた普通の積分やなぁ
194.jpg

195.jpg



(3) (2)の曲線の長さを求めよ。
これに関してはもう
白チャ数Ⅲ補充例題158とまったくおんなじやねんな
びっくりやわ
196.jpg



1-costをsin2t/2にして次数上げするのにびびるかもしらんけど
これも白チャ数Ⅲ補充例題158でやってるから
けっして奇抜な解法ではないな


サイクロイドの超基礎やったな
でもこいつあんまり見ないから
久しぶりにみてびっくりだわ

2012-07-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]九州大学2010前期「3」

九州大学2010前期「3」
xy 平面上に曲線y = 1/x2を描き,
この曲線の第1 象限内の部分をC1 ,
第2 象限内の部分をC2と呼ぶ。
C1上の点P(a,1/a2 )からC2に向けて接線を引き,
C2との接点をQ1とする。
次に点Q1からC1に向けて接線を引き,
C1との接点をP2とする。次に点
P2からC2に向けて接線を引き, 接点をQ2とする。以下同様に続けて, C1上の点列
PnとC2上の点列Qn を定める。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 点Q1の座標を求めよ。
(2) 三角形P1Q1P2の面積S1を求めよ。
(3) 三角形PnQnPn+1 ( n = 1, 2, 3, L)の面積Snを求めよ。
(4) 級数Σ(n=1→∞)Sn
Sn の和を求めよ。


(1) 点Q1の座標を求めよ。
イメージはこんなん
187.jpg

y'=-2/x3

Q1=(q,1/q2)とすると
QにおけるC2の接線は
188.jpg

これがP1を通るから
189.jpg

q≠aより、q=-2a

∴Q1=(-2a,1/4a2)



(2) 三角形P1Q1P2の面積S1を求めよ。
同じ感じで
P2=(4a,1/16a2)ってわかる
ほしたら面積は
190.jpg



(3) 三角形PnQnPn+1 ( n = 1, 2, 3, L)の面積Snを求めよ。

おんなじ感じで

Pn=(pn,1/pn2)
Qn=(qn,1/qn2)
とすると

pn=4n-1p1=4n-1a
qn=4n-1q1=-2・4n-1a

となりますこれをつかって

Sn=81/(2a・4n+1 )

あとはふつうに級数をもとめるだけ!
191.jpg

27/8a 答え
はちエーやからな分母

これは計算をどうハブクカナーっていうのが
大切だった
めんどくさいからな!

2012-07-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]九州大学2010前期「2」

確率は嫌々やるしかないやろ!
九州大学2010前期「2」
次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし, 出た目が気に入ればそ
の目を得点とする。そうでなければ, もう1 回サイコロを振って, 2 つの目の合計を
得点とすることができる。ただし, 合計が7 以上になった場合は得点は0 点とする。
この取り決めによって, 2 回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。
次の問いに答えよ。
(1) 競技者が常にサイコロを2 回振るとすると, 得点の期待値はいくらか。
(2) 競技者が最初の目が6 のときだけ2 回目を振らないとすると, 得点の期待値はい
くらか。
(3) 得点の期待値を最大にするためには, 競技者は最初の目がどの範囲にあるときに
2 回目を振るとよいか。


これはブラックジャックの少ないバージョン??
(1) 競技者が常にサイコロを2 回振るとすると, 得点の期待値はいくらか。
これな
はじめにチマチマ書いてたんよ
P(1)=0で
P(2)は(1,1)って目が出るときだけやからこうで~
とかやってたら

サイコロってよく図を書くことをおもいだしてんな

ほんだら見通しがすごくよくなった
184.jpg

枠の中の数字は和だからね

ハイパーみやすくなって期待値は
E=(1×0 + 2×1 + 3×2 + 4×3 + 5×4 + 6×5)/36

=35/18

図を書くことをおもいだしたのはでかいな!

(2) 競技者が最初の目が6 のときだけ2 回目を振らないとすると, 得点の期待値はい
くらか。

これも図をかくとサッパリ気持ちいいです
185.jpg

一回でやめると、
縦の列がおんなじとくてんになるわけやな
よって期待値
E=(1×0 + 2×1 + 3×2 + 4×3 + 5×4 + 6×11)/36
=53/18
答え

(3) 得点の期待値を最大にするためには, 競技者は最初の目がどの範囲にあるときに
2 回目を振るとよいか。

これはおれがんばったで
範囲の左端の数をa右端をbとして
186.jpg

どや

やめたった
ハイパーめんどくさかったからや


数字少ないし、ちょっとずつしぼっていけばいいことに気付きました
こまったときのゴリ押しやな

たとえば、
[1,2,3,4,5]6
1~5がでたとき、二回目を振って、
6がでたとき試行をやめるとき

これは(2)の答えだから
E=106/36
やな
[1,2,3,4]5,6
1~4がでたとき、二回目を振って、
5、6がでたとき試行をやめるとき
(2)とおなじ求め方で図をかいたらすぐでるわ
E=130/36

お!期待値あがったな
これをやりまくるわけやな

[1,2,3]4,5,6
E=143/36

[1,2]3,4,5,6
E=146/36

1,[2],3,4,5,6
E=132/36
あれさがってしまった
ということで

[1,2]3,4,5,6
のとき期待値が最高です

つまり答えは
1,2がでたときのみ二回目を振る
です

はー!!
サイコロで図を思い出したのがでかかった!
あれがなかったら半端なくめんどくさかったんやろな!

2012-07-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]九州大学2010前期「1」

更新するぞー!!
九州大学2010前期「1」
三角形ABC の3 辺の長さをa = BC, b = CA , c = ABとする。
実数t≧0 を与えたとき, A を始点としB を通る半直線上にAP = tcとなるように点P をとる。
次の問いに答えよ。
(1) CP2をa, b, c, t を用いて表せ。
(2) 点P がCP = aを満たすとき, t を求めよ。
(3) (2)の条件を満たす点P が辺AB 上にちょうど2 つあるとき, ∠A と∠B に関す
る条件を求めよ。


(1) CP2をa, b, c, t を用いて表せ。
余弦定理より、
三角形APCについて
cosA=(b2+c2-a2)/2bc

三角形ABCについて
cosA=(b2+t2c2-(CP)2)/2btc

こいつらは等しいから、
(b2+c2-a2)/2bc = (b2+t2c2-(CP)2)/2btc
⇔(CP)2=ta2-(t-1)b2+t(t-1)c2


(2) 点P がCP = aを満たすとき, t を求めよ。
(1)から
a2=ta2-(t-1)b2+t(t-1)c2
⇔(t-1)(a2-c2+tc2)=0

a>bのとき、t=1
a≦bのとき、t=1,b2-a2/c2
答え

(3) (2)の条件を満たす点P が辺AB 上にちょうど2 つあるとき, ∠A と∠B に関す
る条件を求めよ。

(2)の結果から、
a>bのとき、t=1だけで題意にそぐわないんやな

だから絶対
a≦bじゃないとだめぽ

b2-a2/c2

こいつが、t=1とは別の値であればいいわけやから

a≦bかつ0< b2-a2/c2
a≦bかつb2< c2+a2

∠B≧Aかつ∠B<90°


答え

これは(2)を正確に求められたら流れでいけるはずや!

2012-07-26 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2005前期「6」

京都大学2005前期「6」
先頭車両から順に1 からn までの番号のついたn 両編成の列車がある。ただし
n≧2とする。各車両を赤色, 青色, 黄色のいずれか1 色で塗るとき, 隣り合った車
両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。



確率やります
列車をぬるわけやな
小さいときにプラモ頑張って塗ったら
翌日に捨てられたのおもいだしたわ


こういうどうなってるか考えにくい系のやつは大抵漸化式つかうとおもって使ってみます
170.jpg

an+1=an×1 + bn×1
bn+1=an×2

こんなかんじになるよね
漸化式の準備しときます
171.jpg

ほんだら漸化式使ってみます
172.jpg

差をとって
173.jpg

求めるのは
n+bnだから
174.jpg

こんなかんじ

2012-07-25 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2009前期「5」

この年おわったら京大はいったんおしまい!

京都大学2009前期「5」
xy平面上で原点を極,x軸の正の部分を始線とする極座標に関して,極方程式
r=2+cosθ (0≦θ≦π)
により表される曲線をC とする。C とx 軸とで囲まれた図形を
x軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。


r=2+cosθ

これは見ての通り、θがπにむかうほど、
短くなる棒やな

x=rcosθ=2cosθ+cos2θ
y=rsinθ=2sinθ+cosθsinθ

これはθっていう媒介変数で表された式といえるな

それぞれθで微分すると

dx/dθ =-2sinθ(1+cosθ) ≦0
dy/dθ =2cos2θ+2cosθ-1

dy/dθ=0のとき、
cosθ=(-1+√3)/2 (∵-1≦cosθ≦1)
だから増減表はこんなん
cosα=(-1+√3)/2
166.jpg

求める体積のイメージってこんなん
167.jpg

あとは回転体の基本やな
\(^o^)/
168.jpg

sinθとcosθだけの式になりましたやったね!
169.jpg



計算がめんどくさかった
ミスらなくてよかった!

2012-07-25 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2005前期「5」

目に残る記録が増えてきて楽しいわー
京都大学2005前期「5」
k を正の整数とし, 2kπ≦ x ≦(2k+1)πの範囲で定義された2 曲線
C1:y=cosx
C2:(1-x2)/1+(x2)
を考える。
(1)C1とC2は共有点をもつことを示し, その点におけるC1の接線は点(0,1)を通る
ことを示せ。
(2)C1とC2の共有点はただ1 つであることを証明せよ。


(1)C1とC2は共有点をもつことを示し, その点におけるC1の接線は点(0,1)を通る
ことを示せ。

これはじめ微分して、単調増加とかをしめしてーとかやろうとおもったんやけど
迷宮入りしたから、共有点の座標を一気に求めようとかやめた
162.jpg

これはいいプラスマイナス
忘れてたわ
中間地の定理ってやつをつかうんやな

平均値の定理はすごい気を使うけど
こいつのことすっかり忘れてたわ

f(x)は連続だから、中間地の定理より
f(α)=0となるαが2kπ≦α≦(2k+1)πに存在する

f(α)=0
(1-α2)/(1+α2) = cosα ・・・①

C1の接線は

y=(-sinα)(x-α)+cosα

(0,1)を通るかな?

x=0のとき

y=αsinα+cosα
163.jpg


通ったね


(2)C1とC2の共有点はただ1 つであることを証明せよ。
これは(1)によって
C1の接線はどんなやつだって!
(0,1)を通るといわれたわけやな

ほんじゃぁ
接点(交点)が何個出てくるかをしらべて
x=αだけってことがいえたらハッピーなわけやな

接点(t,cost) (2kπ< t <(2k+1)π)
とすると

(0,1)からC1に引いた接線は

y=(-sint)(x-t)+cost

(0,1)を通るから

1=tsint+cost
tsint+cost-1=0

g(t)=tsint+cost-1とおくと
g'(t)=tcost

g'(t)=0のとき
t=(2k + 1/2)πだから
増減表
164.jpg

よし
g(t)=となるtはひとつしかない!!

といえたわけやな

これは接点が一個しかないって考えなあかんところが
むずかしかったな
どんな接線も(0,1)を通ると解釈すると気付いたらすぐだけど



2012-07-24 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2010前期「6」

京都大学2010前期「6」
n個のボールを2n個の箱へ投げ入れる。
各ボールはいずれかの箱に入るものとし,
どの箱に入る確率も等しいとする。
どの箱にも1 個以下のボールしか入っていない確率をPnとする。
このとき, 極限値lim(n→∞)logPn/nを求めよ。



ほんま確率はよくわからん
書くしかないな
158.jpg

こんなかんじやろ。
つまりボールの受け皿がどんどんなくなっていくかんじやな

よって確率は
Pnはこんなんになる
159.jpg

だから
logPnはこんなん
160.jpg

これは区分求積したくなるわな
求愛してるな
161.jpg


(答)

区分求積に気づいたら一瞬やと思うねんけど、
それに気づくかどうかはやっぱ何回もみて、
こっちはたかみな、
こっちはバビーと見分けるくらいにならなあかんな!
いやみてへんけどねたかみな

あとはlogって積を和に書き換えるときによくみるなあっておもって問題といてたら確かにそうしましたよって

2012-07-24 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2011前期「4」

日課はこなさなな!
京都大学2011前期「4」

nが2以上の整数であり、1/2< aj <1 (j=1,2,.....n)であるとき、不等式
(1-a1)(1-a2)・・・(1-an) > 1-(a1 + a2/2 +.....+an/2n-1)
が成立することを示せ。


やりかたがわからんときは
帰納法やわ

ということで帰納法

示す式の
左辺-右辺をMとすると
M>0を示せば良いです

n=2のとき
152.jpg


n=k(k=2,3,4,…)のとき
M>0を仮定
153.jpg


n=k+1のとき
154.jpg


書くのがめんどくさかったから
155.jpg

そしたらMは
こうなります
156.jpg
1> ak+1 >1/2
だから
M>0
⇔1/2k < f(k)
だな

f(k)がどんだけがんばっても1/2kには勝てませんといえればいいやね

ほんだら

157.jpg


an が全部1/2のときよりちょっと勝てへんのやね

よって
n=k+1のときも
M>0といえるから

帰納法で題意が示た訳やな

時間はかったときはできへんかったけど、
なんでできへんかったかわからんな
最後はまとまって行く感じがよかったです

2012-07-23 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2004前期「」 

AX-XB=Y

X=(acbd)

とすると、

AX-XBは
148.jpg

となるわな

で、任意のYがこれに等しいんやから
α≠1,2かつβ≠1,2
やな

例えばYの左上の成分の数値を0,1としたら
α=2だったらまずいことがわかります
これって任意のYについてなりたたないことになるもんな

このとき、Y=(xzyw)に対して
Xをこうとれば
151.jpg

任意のYに対して、
AX-XB=Y
となるXが存在する

従って求める条件は

α≠1,2かつβ≠1,2である

「任意の」って言葉がきたら、テキトーに選んでくださいって言われてるきがして、
成分をみるという流れになったんやな

2012-07-22 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2004前期「2」

イソジンでうがいしまくったら、喉がましになったかもしらん
京都大学2004前期「2」

α>とし、x>0で定義された関数

f(x)=(e/xα - 1)logx/x

を考える。y=f(x)のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をαであらわせ
ただしeは自然対数の底である。

これな
はじめ微分とかして迷宮入りなったな

で、求める面積ってxのどの範囲内なのかなとおもった

要するにf(x)>0ってどこやってな
142.jpg

よって
01/αのときf(x)>0

f(1)=f(e1/α)=0だから

求める面積Sはこんなん
143.jpg

もう普通の積分やります
144.jpg

Aについて
145.jpg

Bについて
146.jpg

S=eA-Bだから
147.jpg


増減表かいたりしないで、
f(x)>0の部分を図るとは自分の中であたらしかったな!

数学のボキャブラリーが増えたからこれで対応できるものも増えるはずや

2012-07-22 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2004前期「1」

この年は三完だった!安定してこのくらいを目指そう!
京都大学2004前期「1」

f(θ)=cos4θ-4sin4θとする。
0≦θ≦3π/4 におけるf(θ)の最大値および最小値を求めよ。

f(θ)=cos4θ-4sin2θ
=(2cos22θ)-(2-2cosθ)
=2cos22θ+2cos2θ-3
=2(cos2θ+1/2)2- 7/2

0≦θ≦3π/4より
0≦2θ≦3π/2だから

-1≦cos2θ≦1

あとは単純に

最大値 1
最小値 -7/2

おしまいやな
なにをさせたかったのかはわからん

2012-07-22 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2005前期「4」

京都大学2005前期「4」
a3-b3=217を満たす整数(a,b)の組をすべて求めよ。

整数問題はまず因数分解やる

(a-b)(a2+ab+b2)=7・31
だから

a-b=k
a2+ab+b2=217/k
(k=±1,±7,±31,±217)

a=k+bより、もうひとつの式に代入して整理すると
3b2+3kb+k2-217/k =0・・・①

コレを解いたらkに対するbが出てくるねんけど
やっぱ数を減らすのが整数ってとこあるし

bは整数だから

判別式をDとしたら
D≧0かつDが平方数じゃないといけないよね
141.jpg
きたねぇw

D≧0

868≧k3(k≧0)
868≦k3(k≦0)

D≧0かつDが平方数となるのはk=1,7のみ
kをそれぞれ①に代入したら、
k=1のとき、(a,b)=(-8,-9),(9,8)
k=7のとき、(a,b)=(1,-6)(6,-1)

この4組である。

整数はやっぱ因数分解から!

2012-07-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2005前期「2」

京都大学2005前期「2」

210 < (5/4)n < 220を満たす自然数はいくつあるか。
ただし、0.301< log102 <0.3011
とする。

こんな露骨にlogつかえっていってるから誘いにのるしかなかったんや

210 < (5/4)n < 220
より
10log102< n(1-3log102) <20log102

ログログうっとおしかったから一箇所にあつめたかったので
log102で割る

10< n(1/log102 -3) <20
ここで、0.301< log102 <0.3011だから

967/3011< 1-3log102 < 97/301

これにnがかかったものが10と20の間にあったらいいわけで
これはもうガリガリかきまくったらわかりました

n=32,33,34..........60,61,62

の31個 (答)

計算ミスとかに気をつけなあかんな!

2012-07-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2005前期「1」

さっさおわらずぞ!
京都大学2005前期「1」
xy平面上の原点と点(1,2)を結ぶ線分(両端を含む)をLとする.
曲線y=x2+ax+bがLと共有点を持つような実数の組(a,b)
の集合をab平面上に図示せよ.
131.jpg

はじめにやったときは
頂点の座標を考えて、
うごかしてうごかして
接するときはこうであーでってかんがえたんやけど

無理や!!!!ってなった
だって漠然としすぎてるからなスタートがさ
んでこっちのやり方を考えていきました

Lと放物線が交わったらよくて、一個でも交点があればいいから
このL上の交点をあらわしてみて、それが放物線上にあったらいいんちゃうんかと
逆にしてみた

L上の点をMとすると
M(k,2k) (0≦k≦1)
とかけるよね

この点が、y=x2+ax+b上にあればいい
代入して

2k=k2+ak+b

k2+(a-2)k+b=0

この等式が(0≦k≦1)っていう限られたkで成立したらいいわけ
かっこつけたら
等式を満たすkが[0,1]で存在すればよい。とな

これはもう解の配置(っていうの?)のセンターとかでよくやる問題やんか

f(k)=k2+(a-2)k+bとすると
これは軸が
k=(2-a)/2の放物線だから、
軸で場合わけや
132.jpg
136.jpg

133.jpg
137.jpg

134.jpg
138.jpg

135.jpg
139.jpg


これらⅰ~ⅳを図示したら
140.jpg
境界は含みます


これは最初に
主役を誰にするか決まってしまったら
流れに乗って終わってしまったな

2012-07-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2006前期「5」

南天のど飴のカンカンが一瞬でなくなろうとしている!
京都大学2006前期「5」

△ABCに対して、辺AB上に点Pを、
辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを。頂点とは異なるようにとる。
この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角系の
重心はどのような範囲を動くか図示せよ。


ABベクトル=Bベクトル
ACベクトル=Cベクトルとすると、
APベクトル=pBベクトル (0< p <1)
AQベクトル=qCベクトル+(1-q)Bベクトル (0< q <1)
ARベクトル=rCベクトル (0< r <1)

P,Q,Rの重心Gは
129.jpg

こうなるわな

で、これを考えて行くわけやな

p,q,rっていう変数に全く互いに関係がないってとこが大切

バラッバラにフリーダムにうごくわけやな

だから

一個ずつ範囲内でうごかしてやればいいわけだ

これは黄チャ数B基本例題33でやったやつよりもかんたんなやつやな

答えは
130.jpg


図ではBベクトルとCベクトルが垂直に書いてあるけど、
意味は全くないです
答えはBベクトルとCベクトルに対応してきまるわけやから
みやすく書いただけなのよね

2012-07-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2006「6」

一回に5題くらい更新してるとコメントなくなってくるでな

京都大学2006「6」
0<α<π/2として,関数Fを

  F(θ)=∫(0→θ) xcos(x+α)dx

で定める。θが[0,π/2]の範囲を動くとき,Fの最大値を求めよ.


まぁ素直にxを変数としてせきぶんしてくださいっていうからする

F(θ)=θsin(θ+α)+cos(θ+α)-cosα

最大値ときたらもう理系は微分猿になるやろ

F'(θ)=θcos(θ+α)

0≦θ≦π/2,0<α<0より
0<θ+α<πだから

F'(θ)=0のとき

θ=0又はπ/2 - α

増減表はこんなん
128.jpg

シンプルやね

最大値

F(π/2 - α)=π/2 - α - cosα (答)


文字が多いからやっぱなにが定数か
何が変数かっていうのを確認しまくるとうまくいった
α,θ,xとかの間に関係があったらややこしくなるんやけど
今回はそんなのなかったね

2012-07-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2006「4」

京都大学2006「4」
2以上の自然数nこ対し、
nとn2+2がともに素数になるのは、n=3の場合に限ることを示せ。


これは問題文に答がかいてあるな
n=3だけらしいで(遠い目)


ほんじゃぁn=2,4,5,6,7,8......
はだめってことをしめすわけやな

n=2のとき、
n2+2=6=2・3 よって素数とならない

n=3のとき
n2+2=11
このときは両方素数やな

n=3k+1,3k+2,3k+3 (k=1,2,3,4,.....)とおく

なんかn=3って数字がめにはいったから
自然数をこう表記してみようって直感でおもった

n=3k+1のとき
n2+2=3(3k2+3k+1) よって素数とならない

n=3k+2のとき
n2+2=3(3k2+4k+2) よって素数とならない

n=3k+3のとき
n=3(k+1) よって素数とならない

以上より題意は示された。


n≠3のときはむりなんやって考えて
nを3を割った余りで書くことがおもいついたらおわり

だいぶテキトーに書いてるけどな

2012-07-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2006「3」

京都大学2006「3」
関数y=f(x)のグラフは,座標平面で原点に関して点対称である.
さらにこのグラフのx≦0の部分は、軸がy軸に平行で、
点(-1/2,1/4)を頂点とし,原点を通る放物線と一致している.
このときx=-1におけるこの関数のグラフの接線と
この関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.


f(x)は奇関数らしいね。
んで
頂点が(-1/2,1/4)だから

f(x)=-x2-x (x≦0)

奇関数だから
x≧0のときのf(x)をg(x)と書くと

g(x)=x2-x (x≧0)

x=-1での接線は

y=x+1です

面積Sはこんなかんじだな
126.jpg


でx=0を境目に関数が変わることに注意して、

127.jpg


(答)

これってセンターでも下のほうのレベルやろ
計算ミスに気をつけないと!

2012-07-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2006「2」

暗記や暗記!!
京都大学2006「2」
点Oを原点とする座標空間の3点を
A(0,1,2),B(2,3,0),P(5+t,9+t,5+3t)とする.
線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ.
またそのとき,交点の座標を求めよ



AB上に点があって、その点がOP上にあるか。
123.jpg

ベクトルでよくやるやり方でやってみるか
同じ点を2通りで表すってやつやな。
点Qは線分OP上にあるから
124.jpg

線分AB上にあるから、
125.jpg

こいつらは等しいはずだから
-2k+2=(5+t)l
-2k+3=(9+2t)l
2k=(5+3t)l
0≦k≦1
0≦l≦1
kを消去しにかかってみる。
1=(5+2t)l
3=(14+5t)l
k=(5+3t)l/2
0≦(5+3t)l≦2
0≦l≦1
変形します
(1+t)l=0
k=(5+3t)l/2
0≦(5+3t)l≦2
0≦l≦1

l=0のとき、OQベクトル=lPベクトルだから
OQベクトル=0ベクトルとなって

これは明らかに線分AB上にない

だから、l=0じゃないね

t=-1であり、
このとき
l=1/3

OQベクトル=(4/3,7/3,2/3) (答)

これはAB上にあります
直線の式だしたりしたら確認できます。

線分がOQベクトルをふたとおりにあらわすことはセンターとかでもよくやってるよね

2012-07-19 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2006「1」

この年の数学は6完できたワーイ
完成度はしらん

京都大学2006「1」
Q(x)を二次式とする。整式P(x)はQ(x)で割り切れないが、{P(x)}2
Q(x)で割り切れるという。このとき2次方程式Q(x)は重解をもつことを示せ


二次方程式のおきかたはこうしてみよう
二次方程式の解をα,βとすると、
Q(x)=a(x-α)(x-β)とおける(a≠0)

だってαとβに着目したいから
Q(x)=ax2+bx+c
とかおいたら余計な記号が増える気がして

ほんで黄チャ数Ⅱ基本例題47とおんなじことをしてみるわけだ
P(x)をQ(x)で割ったときの商をR(x)とすると
P(x)=R(x)Q(x)+sx+t (sとpは同時に0とならない) と書ける
sとpが同時に0になったら割り切れることを意味してまうからな

二乗してみる
{P(x)}2={R(x)Q(x)}2 + s2x2 +t2 +2R(x)Q(x)sx +2R(x)Q(x)t +2sxt

Q(α)=Q(β)=0より
{P(α)}2={P(β)}2=0 となるから、

x=α,βを代入する
0=02+s2α2+t2+0+0+2sαt
0=02+s2β2+t2+0+0+2sβt
整理
0=s2α2+t2+2sαt
0=s2β2+t2+2sβt
変形
0=(sα+t)2
0=(sβ+t)2

0=sα+t
0=sβ+t
差をとって
s(α-β)=0

s=0のとき
t=0となって、これは不適

よってα=βとなって

Q(x)は重解をもつといえる!!

こんなもんなんやな
この問題は難しい発想もないし落としてはいけんな

2012-07-19 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2007前期乙「3」

喉がチョベリバ

京都大学2007前期乙「3」
pを3以上の素数とする。4個の整数a,b,c,dが次の3条件
a+b+c+d=0
ad-bc+p=0
a≧b≧c≧d
を満たすとき、a,b,c,dをpを用いて表せ。


なんかよくわからんけど
等式がある以上
文字数を減らしていくしかないやろって

a+b+c+d=0
ad-bc+p=0
a≧b≧c≧d
変形
d=-(a+b+c)
a-(a+b+c)-bc+p=0
a≧b≧c≧-(a+b+c)
変形
d=-(a+b+c)
p=(a+c)(a+b)
a≧b≧c≧-(a+b+c)

ここでpは3以上の素数だから
ⅰ)
a+c=p
a+b=1

ⅱ)
a+c=-1
a+b=-p

ⅲ)
a+c=-p
a+b=-1

ⅳ)
a+c=1
a+b=p

この4つが考えられるね

ⅰ)のとき
a+c=p
a+b=1
差をとって
c-b=p-1
左辺≦0,右辺>0よりこれは不適である。

ⅱ)のとき
a+c=-1
a+b=-p
これも差をとって
c-b=p-1
同じ理由で不適

ⅲ)のとき
a+c=-p
a+b=-1
変形
c=-a-p
b=-1-a

よって
d=p+a+1
不等式から、
a≧-1-a-1-p≧p+a+1

a≧-1-aより
a≧-1/2でaは整数だから
a=0,1,2,・・・
-1-p≧p+a+1より
-2a-1≧2p
左辺が負となる(∵a=0,1,2,・・・)
これはpが3以上に反するので不適

さいごです
ⅳ)のとき
a+c=1
a+b=p
変形
c=1-a
b=p-a
だから
d=a-p-1

不等式から、aをしぼりたいの。なぜならaでほかの文字が全部出せるから
a≧p-a1-a≧a-p-1

a≧p-aより
a≧p/2
pは3以上の素数だから

a=(p+1)/2,(p+3)/2,・・・・

1-a≧a-p-1より
(p+2)/2≧a
pは3以上の素数だから

a=(p+1)/2,(p-1)/2,・・・・

よってaは
a=(p+1)/2 以外取りえない!

ほかの文字は

b=(p-1)/2
c=(-p+1)/2
d=(-p-1)/2 (答)

これらは条件をみたす。

素数って奇数なんだなってなんか実感した
やっぱ不等式はうまいはさみ方をさがすとこがみそだったようにおもえた。

2012-07-19 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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プロフィール

ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

質問やご指摘等ありましたら下のメッセージボックスかコメント、あるいはメールをこちら↓にお願いいたします
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