[数学]慶應義塾大学医学部2012前期「3」

慶應義塾大学医学部2012前期「3」

問題文


以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
ただし設問(2)において,適切なtの値が複数個ある場合は,それらをすべて記入しなさい。
 放物線y=x2をCとする。C上に点P(-1,1)をとり,PにおけるCの法線とCとの
交点のうち,Pと異なるものをQとする。またtを実数として,点P通って傾きが
tの直線をl1とし,点Qをとおってl1と直交する直線をl2とする。
l1とl2の交点をRとする。        ・・

(1)点Qの座標は((あ),(い))である。
(2)点Rが点P,Qと異なるようにtを変化させるときの△PQRの面積の最大値は
(う)である。また△PQRの面積を最大にするtの値をすべて求めると
  t=(え)である。
(3)点P,Qとは異なるC上の点T(u,u2)を考える。
TPベクトル・TQベクトル<Oとなるようなuの範囲は
            (お)< u <(か)
である。
(4)点Rが,不等式y<x2の表す領域に入るようなtの範囲は
            (き)< t <(く)
である。

(1)
法線の話やから微分して傾きをだします
それとCとの交点のひとつがQですね



(2)
とりあえずl1とl2を出しときましょう


ここからRを出して微分して~ってやってもいいんですが計算がむちゃくちゃ大変でした

というわけで図形的に考えてみました
まず、PQは定点なので三角形の底辺に当たる部分は一定です

となれば高さが出ればいいわけですが
Rは直角を保ったまま動くわけですよね
ということは

RはPQを直径とする円周上を動く

として良いはずです

円を書けば高さが最大になる場合のRは一目瞭然やん


面積の最大値はこのRの位置の時なので
高さは半径に当たりますね



Rはl1やl2の点やから代入すればtが得られます



(3)
内積計算です
展開せずに計算しないと結構大変です



(4)
絵を書きますとすぐにわかりますが
(3)の展開から考えると

1/2 < u < 3/2のときに鈍角
つまり円の内側に放物線上の点があるとわかりますね
だから概形が描きやすくなるんじゃないかなと思います



2013-07-04 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]慶應義塾大学医学部2012前期「2」

慶應義塾大学医学部2012前期「2」

問題文


以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
 xy平面上2で点Pはx軸上に、点Qはy軸上に置かれ,点Pのx座標と点Qのy座標
はそれぞれ-2以上2以下の整数であるとする。点P,Qに対して次の操作を考える。
捧作
点Pの座標が(i,0),点Qの座標が(0.j)であるとき次の規則に従って2点
P,Qを互いに独立に同時に処理する。
(P1)-1≦i≦1ならば点Pを(i十1,0)または(i-1,0)のどちらかに確率
   1/2ずつで移す。
(P2)i=-2ならば点Pを必ず(-1,0)に移す。
(P3)i=2ならば点Pをそのままにしておく。
(QI)-1≦j≦1ならば点Qを(0,j+1)または(0.j-1)のどちらかに確率。
   1/2ずつで移す。
(Q2)j=-2ならば点Qを必ず(0,-1)に移す。
(Q3)j=2ならば点Qをそのままにしておく。
 さて。2点P,Qがともに(0,0)に置かれている状態から始め,上の操作を3回繰り返
し行う。
(1)3回の操作の後。点Pが(1,0)に置かれている確率は(あ)であり,(-l,0)
  に置かれている確率は(い)である。

(2)xy平面上で不等式y>xの表す領域をA。不等式y>-xの表す領域をBとする。
  各回の操作後に点Pが常にA又はB内に置かれているという事象をUとし,各回の操
  作後に点Qが常にA又はB内に置かれてぃるという事象をVとすると,事象U又はVの
  確率は(う)である。

 xy平面上で2点P,Qを桔ぶ線分の長さをPQとする。ただし2点P,Qがともに(0,0)
に置かれてぃる場合はPQ=0とする。

(3)3回の操作を通じてちょうど1回だけPQ=√2となる確串は(え)である。
(4)3回の操作を通じたPQの最大値の期待値は(お)である。

(1)
移動の仕方を図示します
そこで操作に従って確率を考えましょう



(2)
領域の中の点を考えると
わりと点が少ないことがわかります


Uとなる場合とVとなる場合の確率をだします
図示するとわかりやすいですね



PとQは独立に動くので
UかつVの確率はそのまま積をとればいいんですね



(3)
1回だけ√2になるわけですが
これは実は1回目の試行で必ずなります

だから2,3回目に√2とならなければいいわけですが
実験すれば2回目に√2は取り得ないことがわかります

だから3回目を注意して考えるわけですね
これはP(2,0),Q(0,2)となる場合を考えればいいねん



(4)
動き方とその確率を書いてみると以下です


P,Qの動き方は36通りしかないですから最大値とその場合について表にしてみました


この表をみれば期待値は考えやすいですね



2013-07-04 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]慶應義塾大学医学部2012前期「1」

慶應義塾大学医学部2012前期「1」

問題文


以下の文章の空欄sこ適切な数,式または行列を入れて文章を完成させなさい。ただし
設問(2)において,適切な行列が複数個ある場合は,それらをすべて記入しなさい。
(1)a1=1,a2=4,an+2=-an+1+2an。(n=1,2,3,…)によって
定められる数列{an}の一般項は(あ)である。
(2)行列(acbd)の表す1次変換により点B(1,1)と点c(1,0)はそれぞれ
点B'と点C'に移されるとする。またO(0,0)を原点とする。OB'ベクトル=2OBベクトル、かつ
△OB'C'が正三角形となるような行列Aをすべて求めるとA=(い)である。

(3)媒介変数tを用いて
x=(et+3e-t)/2
y=et-2e-t
と表される曲線Cの方程式は
(う)x2+(え)xy+(お)y2=25
である。
また曲線cの接線の傾きは、t=(か)に対応する点において-2となる。
(4)α>1を実数とする。0≦x≦1を定義域とする関数f(x)=x-x2が最大値を
とる点をx(α)とするとx(α)=(き)である。またlim(a→1+0)x(α)=(く)である。

(1)
三項間漸化式の基本問題ですね

三項間漸化式は与えられた式を二通の等比数列型に変形して解くのが基本でした



(2)
行列についての条件を計算します


正三角形ですが
1つの辺を60°回転させたものが正三角形のもう一辺となるわけで
行列には回転行列という便利なものがありますからそれを使います


この値を代入するわけや



(3)
tの部分を消すためにうまく変形するわけや
分母が0かどうかは確認はしてませんが、穴埋めなので問題ないです



傾きについてはdy/dxを計算すればいいです
媒介変数tに対して
dy/dx = (dy/dt)・(dt/dx)
とできる




(4)
最大値をとるxの値ですが増減表をかくために関数の形をかんがえました


最大値をとるxは一つしかなく、
f'(x)=0となるxであることが確認されたわけです



さらにx(α)の形から有名な極限の変形を思い出して、それに向かって変形します




2013-07-04 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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テキスト2

※偏差値50以上の人の話

結局なにが言いたいかというと
理解の確認としてオーバーワークしたっていいじゃないの
ということや

H先生と話してたときに確か
"難しめの問題をやっておくといい"
という旨の話がでてて、
当時はたしかに難しいのをやって慣れておけばいいかなくらいの感覚で捉えていたけど
模試で偏差値80とったり、名前が載ったりするくらいのレベルまで勉強してみて、
それでもなお失敗した感覚から言うと

"慣れる"というよりは
"失敗しておく"ことなのかもしれないね

オーバーワークは"大変なもの"やけど
奇問でない限り
ある意味受験前に失敗させてくれる先生と思えばなかなかイイと思うねん(僕は失敗の量が足りなかった)

とはいえ、オーバーワークはオーバーワークだからほどほどにしたらいいと思うけど



この記事は主観的なものなので千差万別な意見があるとおもいます
賛成、反対意見があればお待ちしております(^-^)

2013-07-04 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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テキスト

※偏差値50以上の人向けの話

最近、友人Y君に代々木のハイレベル医学部のテキストを見せてもらった

こ・・これは・・


むずい

いや、でもこれはいいと思った


最近のつらつら日記で

たまにクレイジーに難しいのをやればいいって話を書きましたが
そのとき書くきっかけになったのが
実はこのテキストをなんですね

例えば
ドップラー効果の問題で

音が波を伝わって流れてくる
しかも波は観測者の方向から角度θの向きになっている

だとか

反射板が波に流されてる

だとかね


これ、一回失敗した僕には簡単に見えるわけやけど
失敗してない人からしたらどうやねんやろうね

友人Yもそうやったけど
参考書に書いてある
"SO法(ドップラーの公式のやつ)"とか
なんだとかいう公式の丸暗記でこの問題が解けるのかどうかやな


もちろんコスパ的には丸暗記を推奨したいところやねんけど
少し語弊があるような気がする



最近ある人が言ってた頭の良くなるサイクルがあって

丸暗記(公式など)

理解(公式の出来方や使い方をまとめる)

丸暗記(まとまった知識をアウトプット)


っていうのが自分の中で現時点(2013年7月)で最も的を射ている気がするのよね


クレイジーな問題は結局下記の部分
つまり理解を試す時に使える気がするねん
公式を知ってるのに解けないっていうのはたぶん
特殊な場合を知らないだけな気がするねん


丸暗記(公式など)

理解(公式の出来方や使い方をまとめる)
←ココ
丸暗記(まとまった知識をアウトプット)

2013-07-04 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]慶應義塾大学医学部2013前期「4」

慶應義塾大学医学部2013前期「4」

問題文



(1)
概形を描くので増減が求めたいところやな
与えられている式はx=f(y)となっていていつもとはx,yが逆ですが特に深い意味があるわけでもなさそうです


わりと単調な関数とわかったので
yの変域の端の値がわかればそれを結べばそれが概形となるわけや



(2)
xに対するyの変化量がaです
これはいつもの微分の値を求めればいいですね



直線の式が簡単に求まるものなので
直接その式にy=0を代入すればAの座標がわかります



(3)
これは直接y=g(x)の形に書き換えるのが大変そうなので
積分変数を入れ替えるやり方で行きます
積分の定義から式を立ててから変数を入れ替えるわけですが、その際に積分区間が変わることに注意するねん



(4)
法線も直接出すことが出来ます


まず、αの方を微分します
cは定数ですね



βの方ですがsを定数としてしまうとダメです
x=f(y)の式の上の点やから
s=f(t)として、sはtの値で変化する
からですね



(4)
xをtについての定数として微分します
その正負を調べるためにh(t)をおくわけや


するとh(t)は単調な関数とわかるので
最大値をとるtはh'(t)=0のときのtであるとわかるわけです



最大値をとるtをそのまま代入すると計算がすごいことになります
だからいままでの計算過程の式をうまく使って計算が楽になるようにするねん





2013-07-03 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]慶應義塾大学医学部2013前期「3」

慶應義塾大学医学部2013前期「3」

問題文




(1)
計算問題ですが、次数下げのような変換をすれば計算量が減ります



上計算結果から、だいたいの予想を立てられると思います
証明する問題では無いので予想がたてばそれを書き込めばいいわけやけどここでは帰納法の一部を書いておきます




a=cとa≠cを考える
これらは等比数列の和と考えられますね
a=0の場合の場合わけは穴埋め問題なので省く方向で書いてます



(2)
X3≠Aを考えるのはちょっと難しいので
どんなときX3=Aとなるのかを考えてひっくり返すことにします
x,y,zが存在すれば等式を満たすことになるわけや

等式をいじると
x,zはそれぞれaとcによって一つの値が決定され、
存在することになりますが

yだけが一見わけがわからないのでそれを見て行くわけです


yを構成する部品を考えると

0か正の値

をとるねん
だから場合わけしてそのときのyを考えて見ましょう
x,zは一意的に決定されてしまうので

Xが存在しない→yが存在しない
Xが無数→yが無数
Xがただ一つ→yがただ一つ

と言えるわけや


この場合わけをするわけですね





(3)
(2)ができているならばやることはわかるはずですね
しかしxやzが一つだけに決まるのかこれではわかりません


言い換えて見ましょう

xが一つに決まる→ただ一つの解xをもつ

この表現は見慣れていると思いますが
単調増減関数を示せばいいというパターンの問題になります


だからx,zが一つに決まるわけなのでこれは(2)と全く同じ考えになります

yにかかっているものをア、ウ式からだして見ます


これが0でなかったらいいわけやな



2013-07-03 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]慶應義塾大学医学部2013前期「2」

慶應義塾大学医学部2013前期「2」

問題文




(1)
一回の試行のあとの状態を考える
図を書くとみやすいかもしれません



(2)
漸化式を立てなさいと誘導されてます
Aの赤玉が0個のときをdnとして
n回目とn+1回目の様子を書きます


これを式にすると以下ですね


この漸化式からb,cのみを残すように変形するわけや

an+bn+cn+dn=1となるからこれを使います



二項間漸化式を解くだけなので等比数列型に変形するだけや




(3)
ア、エからanとdnはbnとcnせで表せることがわかるわけです

だから考えるのはbnとcnです
さっきbn+cnを考えたから
bn-cnを考えてみます


漸化式のnの部分は一つ飛びなのでnの偶奇で場合を分けて考える必要があります


これによりbnが求まりますね


では期待値を求める式を書いてみましょう



bnは偶奇で違いましたから場合わけですね
n-1の項の偶奇に注意しましょう
しかし結果は同じでした




2013-07-01 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]慶應義塾大学医学部2013前期「1」

慶應義塾大学医学部2013前期「1」

問題文


(1)
等式が一つだけ与えられています
これをうまく使ってsinθ,cosθの値を出すわけです
sin2θ+cos2θ=1から持ってきます




(2)
指数の部分に注目して対数を取る問題や
2xとyの係数の違いに注目して次の変形が思いつきました



(3)(ⅰ)
点Aを通る平面αは
平面をつくるふたつの独立なベクトルa,bベクトルと実数値k,lを使って
(x,y,z)=ka↑ +lb↑+OA↑
で表せる

ということなので表してみます


点Bを通る直線は方向ベクトルuと実数値mを使って
(x,y,z)=mu↑+ OB↑
で表せる


今回は方向ベクトルが面に垂直だという情報があります

面をつくる互いに独立なベクトルふたつと直線の方向ベクトルが垂直なら
平面と直線が垂直といえる

ことから式を立てます


交点Pを出すわけやからこのふたつの方程式を連立すればいいわけですね
勝手においた文字を消去してしまいます



(3)(ⅱ)
座標がどちらもわかっているので長さは計算できますね



(3)(ⅲ)
線分ABの上に点Pがあるわけだから、
線分ABの式を立てて、その式にPの座標を代入して式を立てます


n=2/3だからこれを図に書くと下図となって比率がわかるわけや



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プロフィール

ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

質問やご指摘等ありましたら下のメッセージボックスかコメント、あるいはメールをこちら↓にお願いいたします
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