[数学]東京大学2002前期「1」理系

東京大学2002前期「1」

問題文


交点ということでやることはやはり連立です


xが異なる二実解となる
つまりx=±Aとなるためには
右辺が正とならねばなりません
その不等式を解きます

出てきた答えについて
求められているのは一般解です

ここで4π/3 < θ <5π/3などとしたら
問題文を読まなかったことを猛反省してください



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2002前期「2」理系

東京大学2002前期「2」理系

問題文


(1)
関数の割り算についての置き方のおさらいです
割られる数をA,割る数をB,商をQ,あまりをRとすれば
A=BQ+R
とかける


今回は余りの係数がanやbnで指定されていますね

式をたて、両辺にxをかければan+1,bn+1
が得られます



(2)
互いに素であり正であることを同時に示すのは大変そうです
なので一つづついくことにします

せっかく得られた単純な漸化式が役に立ちます

a1,b1は共に正です
これらの足し算などで得られる
a2,b2は当たり前ですが正です

この繰り返しなのですね


さて、次にすべての正の整数nにおいて互いに素であることを示しますが
漸化式を1→2→3→…としていったとしてもなかなか様子が見えません

互いに素を示す際、公約数を持つと仮定し矛盾を導く
背理法がよく見られる
ので考えてみました

すべての整数nで
公約数をもつということ、a1とb1は明らかに公約数を持たないこと、

ここから漸化式を数字の小さい方へと進んでいくことにします

この発想はたまに見られるので覚えておいて損はなさそうです



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2003前期「6」理系

東京大学2003前期「6」理系

問題文


とにかく有名なこの問題です

円周率の定義から考えてみましょう

円周率の定義の一つ
π=円周/直径


だそうです
つまり、円周率πの不等式を得るためには
円周か直径で不等式をつくればいいと考えられるわけです

円周についての不等式は内接する図形によって得られます
何角形でも構いませんが
より精度が高く、かつ考えやすいものを考えましょう


あとは比較してひたすら計算です
根号の付いた値の不等式は厳しめにしないと答えが得られませんでした



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2006前期「1」理系

東京大学2006前期「1」理系

問題文


(1)
与えられている条件が簡単なので考えるのは単純なことになります

しかしそれを示すのに少し苦労しました
今回示すのはx3y3≠1です


さて、条件から書き換えて行きましょう


式の形をみると相加相乗平均の関係を使えば良さそうですが制限がありましたね
相加相乗平均の関係を考える際に
各項が正であることを確認しなければならない
んでしたね



(2)
つぎはx42+y42=1を示せばいいですね


さらにP2やP3は円上の点です


そして、まだP1の条件を使っていません
なのでベクトルの式からP3を消してみました


x1x2+y1y2の値が得られればよいのですが
私はここで時間を取られました

いろいろいじってみたところ
ベクトルの大きさの二乗を持ってくることに気づきました

ほかのやり方があればぜひご教授下さい



2013-10-19 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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腰痛

こんにちは

最近腰がいたすぎて更新が滞ってましたすみません

さて、様々な方の勉強のお手伝いをさせていただいてなお強烈に実感するのが

やった内容を忘れている方がすごく多いです

レベルの高い話ではなくて
せっかくお金を払って教えてもらったことを
次の週で確認したら

私「先週のこれこれ覚えてるかな?」
A君「えーっとえーっと・・」

こういう人がめちゃくちゃ多い

覚えれないことについては仕方が無いとは思いますが
せめて予習という意味で復習してくると
スムーズにいくのになぁという感想をもつことが多いです

簡単にいえば
「ゆかベクトルはどうせ先週の確認してくるタイプの先生なんだし、その分野だけでも詰め込んどくか!」

これで十分なんですがそれをしてくれない
これが授業を受けた気になってるということなのかな?


実はこれを無意識に実践している子の具体例がありまして

八月で
「平方完成ってなんですか?」
とか言ってたいわゆる勉強をしてない子がおりました

しかし、この子は必ず先週の授業でやった内容を覚えてきてくれる子でした

前の例でいえば
私「先週のこれこれ覚えてるかな?」
B君「あー覚えてきましたよ!」
あるいは
B君「先週やったここがわからなかったんですけど」
としか返事をしたことがない子です

目に見えて力がついてきたので
10月に入ったところでなんとなしに上智大学の問題をやってもらったところ
80%自力で、
少しのヒントで完答するというなんとまあ素晴らしい結果を出してくれました
平方完成わかんねとか言ってたのがもはや嘘のようです


一般的に復習が大切だといわれていることは周知の事実でしょうが、

その復習とはなんだろう

私にとっての今現在
(2013,10月)の"復習"のイメージは
実体験、そして生徒の行動から
こんな感じなんだなぁということを綴る日記でした

意見がございましたら
非公開コメントでも結構ですのでお聞かせください(^-^)/
よろしくお願いします!

2013-10-18 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1989前期「1」理系

東京大学1989前期「1」理系

問題文


条件がなにやら見にくいのでまとめてみました


直接代入することもできますが
とんでもない式になります
そこで次数下げを目指して
このxとyの式の和や差をとって変形して行きます


得られた式からさらに変形して行くと
ようやく見慣れた式が得られます


さて、これらのグラフが交点を持つことを考えてもいいのですが
ここでは分かりやすいので代入してみました


軸の位置からこれは判別式≧0となればいいわけです
ただし、*に注意してください


以上より答えになります
意外と単純な範囲なんですね



2013-10-18 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2006前期「4」理系

東京大学2006前期「4」

問題文


(1)
yは3つまでしか候補がありません
ここでは思い切って全部やってみました





以上より答えになります



(2)
条件を元に変形していきます
整数問題では
積に変形するといいことが多いので
和の部分を積に変えてみると因数分解できました


2つの候補が出来ますが
条件Aには不等式がありますね
これも示さなければ適当なzとは言えないわけです



(3)
(2)ができていればzを次々に作ればいいと予想するのは簡単です
それを自分の言葉で示して下さい



2013-10-17 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1998前期「6」理系

東京大学1998前期「6」理系

問題文


やはり断面図を見ていくことになりそうです
対称性が使いやすそうだったので
z軸に垂直に切ってみました

断面図は直感的に正方形になりますね
その変の長さをもとめるために
APとz=tの交点を求めます

直線は
方向ベクトルの実数倍+直線上の点の位置ベクトルで表せる



よって断面図はこんな感じですね


条件を満たす部分があるかないか
これはtによって決まるようですから
場合をわけています


この斜線の部分の面積を求めます
角度をθとおいていますが、
θとtの関係式も書いておきます


普通にtで積分すると4θの部分で困るはずです
なので直接が無理なら文字で置き換えて積分するといい

ということでθに置換します


ここまでくればもはやパターン化された積分です

・∫f(cosθ)sinθdθはcosθ=uとおく
・∫f(sinθ)cosθdθはsinθ=sとおく
・置換積分で次数下げ

などによります





よってこれらを代入するとよいですね



2013-10-14 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学1999前期「1」理系

京都大学1999前期「1」理系

問題文


まずなんにせよ直線の式がほしいので点を勝手においてしまいます
P,Qは入れ替わったとしてもRに変化がないので
不等式で文字の動ける範囲を制限しても差し支えはありません


さて、これで面積がもとまります
有名な形で"六分の公式"というのがありますが
それを使うと計算がむちゃくちゃ楽です

p→qで
∫(x-p)(x-q)dx=-(q-p)3/6
となる



次に点Rをこのふた文字で表します


①,②から軌跡が求まるわけですね



2013-10-12 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1986前期「4」理系

東京大学1986前期「4」理系

問題文


(1)

変数がa,b,cと三つもありますが
これらは互いに独立にうごきます

u,vに共通なaを止めて自由に動かしたとき
u,vはどの値をとるのかをみてみました


aが大きくなればu,vは小さくなるし
その逆も、uとvの変動の仕方は等しいので
aの固定を外してみると、こうなりますね


さて、u,vの取りうる範囲は①となりますが
uとvは無関係ではありません
式を変形すると
vはuに比例すると言えます


よって上記の条件をすべて満たすものが答えになります



(2)
大きい方の解を出してみると
u,vに変形したくなりますよね


変数u,vの動ける範囲を(1)の図からかんがえると最大となるのは次の場合と言えそうです


変数が一つなので微分してしまいましょう


同様に最小も求めるわけです



2013-10-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1999前期「6」理系

東京大学1999前期「6」理系

問題文


まず、積分の部分を簡単な形に変えましょう
部分積分を使っています


のこりの部分は部分積分によってループする形ですから
パターン通りに文字でおいて計算します


よって求める不等式はとても簡単な形に言い換えられます


ただ、いつも通りπを3としたりして
これを示そうとするとできません
絞る値が緩いからです

もっと厳しく絞る必要がありますが
例えば
(2.71)3.1なんてわかりませんね

ここで近似についての一つの知識を使ってみます

曲線における値に近い値をもとめる際に
その曲線の接線を用いることができる


言葉よりも絵をみてもらえればわかるとおもいますが
求めたい値(exのx=π)の
近くの点(例えばx=3)における接線を考え、
接線における同じx座標の点(x=π)
はかなり似た値をとります

こうした近似の考え方は一次近似と呼ばれています

わけわかんない人はとりあえず
近似は接線で出せるくらいに思っておけばいいです


上の近似から不等式を求めると、
題意が示されるわけです



2013-10-07 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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過去

いまガリガリ問題集解いてて微笑ましい(?)ことが起こったんですけど

なにかって

私くらいの平凡な知識を持ってくるとわからないことってわりとなくなってくるんですね、

でもやっぱりわからない問題とか概念とかが出てくることは往々にあります。

で、私はそのときにコメントと日付残してたんですよね


「なんで(2013,8,15)」
「ここ間違ってません?(2012,4,5)」
「この公式はこうしたら覚えやすい(20134,27)」

とかね

いろんな本を見て漠然と難しい本をやってみたりしてて、
いったんもどってきてみたらこんなこと書いてありました


なにが微笑ましいかって、
いまなら説明できたり解けたりする
"あたりまえ"
なことが当時はわかってないとか、こんな疑問を持ってたのか~と

過去の自分を振り返る機会ができたようで微笑ましいんですよ

これ、結構楽しいですよ
無味乾燥に赤ペンで線を引くくらいならコメントを残してみたら楽しいかもしれません笑

2013-10-07 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1986前期「1」理系

東京大学1986前期「1」理系

問題文


まず、絵を書いてみるとどうやら三角形の頂点の範囲に制限がありそうです


辺BCやCAがxy=1と二点で交わってしまうと
Dの領域から出てしまいます

となれば最大となるのは接するときです
ここから範囲を絞ってみました


さて、
三角形の面積は平行移動したって変わらないので

面積の公式
点O(0,0),A(a,b),B(c,d)から成る三角形の面積は
S=|ad-bc|/2


をつかいます


aとbは互いに無関係にうごきます

絶対値が大きくなる場合を考えると
(c-a)の部分の正負によってbの取るべき値が変わります
よって場合わけをします



以上より
答えになります



2013-10-07 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1985前期「1」理系

東京大学1985前期「1」理系

問題文


※質問がありました

まず、S1やS2を求めます

これらは簡単な積分ですが
積分範囲がわかりません

わからないなら文字を置いてどんどん進めるとよいです

1=asinxとなるxを文字でおいてしまうんですね



よってS2-S1は次のようになります


さて①からaとαには関係があるため
置き換えられます

今回は
α=(aの式)とするのは難しそうですね
なのでaを消去します

最大をもとめるので微分します


増減表を書けば最大となるときのαがわかり、
①からaももとまるわけですね



2013-10-05 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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アポロロビンス

これ、非常におもしろいです
突き詰めればなんでもできそうですね

ひまつぶしにでもどうぞ


世界最高のスリ師と称されるアポロ・ロビンスは、
腕時計をスリ盗りながら人の行動の特­性を研究しています。
ロビンスはこの愉快な実演で、TEDGlobal 2013の聴衆を相手に持ち物を物色しつつ、
盗られた財布が自分の肩の上にあるのに持­ち主が気付かないといった芸当が、
人間の認知能力の欠陥を利用することでいかに可能に­なるかを示します。
youtube link

2013-10-04 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1998前期「1」理系

東京大学1998前期「1」理系

問題文


極大値と極小値を求めるために、
まずは微分しなければなりません


ここからひたすら計算ですが
楽に計算しましょう
f'(x)でf(x)を括り出すと極大値や極小値をとるxにおいて
f'(x)=0となりますよね

こうした計算が楽になる手法を使わなければとんでもない計算量になってしまいます


ここでも楽をしましょう
解と係数の関係を次のようにします
これはよくやる変形です


さて、これを代入すると
式の形から相加相乗平均の関係を思い出せれば終いになります



2013-10-03 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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模試模試カメよ

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2013-10-03 : つらつら :
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[数学]東京大学2003前期「1」理系

東京大学2003前期「1」

問題文


条件AとBがありますからとりあえず言い換えて見ましょう

Aの方は楽ですね


Bの方は解の配置問題になります
軸の位置で場合わけして
条件を満たすように動かす

わけです

x2の係数で場合わけをしています




x2の係数が正のときはすこし大変です
-1≦x≦1とあるので軸がこれからはみ出ているのかそうでないのかに気をつけないといけません



以上よりaの範囲はこうなりますね


ここでIについて計算して見ましょう


①よりa2の範囲が求まっているのでaで変化するIも値が求まりますね



2013-10-03 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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かあちゃん

これだけは言おう


お母様のご飯はいつも旨すぎるのだと




2013-10-02 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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test

test

2013-10-01 : 俺的メモ : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2007前期「4」理系

東京大学2007前期「4」理系

問題文


(1)
これは直線と交点の問題ですね
aを動かして交点の個数を求める問題です



(2)
次です
横軸をf1(x)とすれば(1)と同じような結果が得られます


さて、求めるのはxの個数なのでこれではいけません
ここで(1)が生きてくるのですが
a=f1(x)なので
aの値でやった場合わけはすなわち
f1(x)のあたいでの場合わけと等しいです

なのでaがある値のときf1(x)はどんな値をとり、
それに対応するxは何個あるのかを数えます
具体的にやって見てください


実験すれば次のようになることがわかるわけです



(3)

いままでの様子から結果は予想できます
これを示すわけですがa=0の場合だけでは示しにくいことが(1)と(2)から予想できればいいですね

こうして範囲を広げて示すというのは
珍しいかもしれません

やることは先ほどと同じですので
帰納法の概要を書いておきます




2013-10-01 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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スキャン

最近画像の取り込み方を変えて

わざわざスキャナーを通して取り込んでいるのですが

いいね!

すごく見やすい感じがします
手間は三倍くらいになるけど


本当は問題文は打ち込みたいくらいなのですが
それをやるとなると…

本が売れます笑

ぼちぼちやっていくのでよろしくお願いします


御意見、御感想があれば
コメ欄や右のメール欄にてよろしくお願いします
(^-^)/

2013-10-01 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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プロフィール

ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

質問やご指摘等ありましたら下のメッセージボックスかコメント、あるいはメールをこちら↓にお願いいたします
yukavector☆gmail.com(☆を@にしてください)

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