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[数学]東京大学1988前期「4」理系

東京大学1988前期「4」理系

問題文


問題文がごちゃごちゃしていますが
"y座標が整数に増加するごとに"
というのを
"y座標が1,2,3…となるにつれて"と解釈すればわかりやすいかもしれません

様子を書いてみましょう


ここでわかったことがあって、
sの値によってはxの増加が止まるのではないか
すなわち漸近線があるのではないかと考えました

漸近線は超えることが出来ないので
漸近線のさよりも遠くにx=bがあれば、
交わることはないですよね

その発想をもとに場合わけですね




これをまとめておきます



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2013-10-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1986前期「2」理系

東京大学1986前期「2」理系

問題文


計算するために座標をとってみます
条件をみたしていれば座標は何でも構いません


面積を求めるため、交点を求めてみます。
このときせっかく与えられているcos(π/12)を意識してみました
するとsin(π/12)を使ってかなり綺麗に書くことが出来ました


あとは通常の積分です
対称性から計算を楽にしてみました


積分
∫√(a2-x2)dx
の積分は
x=acosθ,asinθに置換するとよい

というパターンです

パターンにのっとって置換すると、
さっきcos(π/12)としたことが非常に生きてきますね



2013-10-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1989前期「2」理系

東京大学1989前期「2」理系

問題文


放物線の書き方に知識がいります
x2=4・p・yのとき
準線:y=-p
焦点:(0,p)
となる

わけです


さて、条件から円の方程式がかけます
そこからGの座標もわかりますね


扇形の面積を求めるために
どうしても角度が必要ですので
角度を新しくθとします

この条件とaの関係性がわかっておかないと、
a→∞のときにθ→?となってしまいます
この関係性は図から判断しました


θがあるときの極限はたいてい
θ→0のとき
limsinθ/θ=1
を作る
のでそのように変形してみるとすんなり行きました



2013-10-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2001前期「1」理系

東京大学2001前期「1」理系

問題文


図形を書いてみると対称な形になっています


対称な図形は対称面について考えると考えやすいので切断してみると
図のMNは三角形ABMの二等分線になっています
今回はMNの長さに注目してみました
Oは球の中心です


OMを見るために別の部分を持ってきます
半径rについての条件を使いたいため、
ODCを見て見ました


MNについての条件がすべて集まったのであとは計算です



2013-10-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1995前期「4」理系

東京大学1995前期「4」理系

問題文


(1)
f(n)の最小値はどの辺にあるのか
それを見るために
正の実数xとして
f(x)の増減を考えて見ました


f(x)は下に凸なので
nが√Nに近いほど値は小さいと言えますね

よって√Nを計算して、それらに近い数でNの約数になっているものを考えることになります

今回は実験してみると、
偶奇で場合わけをする必要がありそうです


奇数の場合は候補が二つ上がりました
なので代入して小さいほうを選びます


以上をまとめて書くとこれが答えになります



(2)
こちらも手順は同様です




2013-10-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2004前期「1」理系

東京大学2004前期「1」理系

問題文


様々な条件があるので、これを言い換えていきましょう
傾きと辺の長さについてです


これらより、pやqはaで表すことが出来ます
今回は表さなくても計算出来ましたけれども。


次にRの座標が問題です
・PQを±60°回転させる
・PQ=PR=QRから求める
・垂直二等分線を求める
・ベクトルを使う
などなど様々あるでしょうが

私は正三角形の条件から
単位ベクトルを用いることにしました
単位ベクトルを√3a/2倍したものが図のMRベクトルを表しています




2013-10-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1995前期「1」理系

東京大学1995前期「1」

問題文


次数が等しい変数はまとめることができる
というわけで文字をまとめてみましょう


左辺の最大値以上となる数のなかで
一番小さいものがkとなります
よって最大値を求めに行けばいいわけですね




2013-10-29 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1994前期「2」理系

東京大学1994前期「2」理系

問題文


(1)
まず三角関数について変形使用かと思いましたが
よくみるとこの三角関数は具体的な数値を求めることができる
有名なものだったので
直接求めることにしました


これによりaとbの値がわかります
ゆえに示すことは明らかとなります



(2)
帰納法でいこうかと思いましたがうまく行きそうになかったので

aとbが二次関数の解であると言えることから
漸化式をたててみることにしました

よく見かける次数下げです


(1)より、漸化式を作りました
すると、S1やS2は整数であり
それらから得られるS3も整数といえます

この繰り返しを行うわけです



2013-10-29 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2003前期「4」理系

東京大学2003前期「4」理系

問題文


(1)
解と係数の関係から計算を楽しましょう



αやβは二次関数の解なので
次数下げができます
これを用いると漸化式ができます



(2)
βの大きさは1未満です
なので三乗しても大きさは1未満です

今回先に三乗して
β=38-17√5としてから範囲を絞ろうとすると
範囲が広すぎて決定出来ませんでした



(3)
これは直接は無理なので漸化式を使おうと考えるはずです
今回考えるのは一の位なので、その部分のみ考えてみます

この問題のように2003だとか
とんでもない数字を使う問題は
たいてい循環しています


これは直感なのですが非常におおいきがしますので
その観点から探ってみると
やはり循環していそうです


AとBの1の位が等しいとき
A-Bは十の倍数となる

ことから示しておきましょう

例えば18と8は
18-8=10として十の倍数ですね


十の倍数と示すために
Sn+1+3Sn
がら5の倍数であることを示すことになります


従ってこの循環とβの大きさが1未満ということから
αを求めにいきます

わかりにくければβ=0.5だとか0.3だとか
範囲内の具体的な数字を代入すれば納得できるかと思います



2013-10-28 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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走査型電子顕微鏡なーり

走査型電子顕微鏡で撮影されたミジンコの写真を見ました


なんという…ラスボス感…
明らかに状態異常の魔法が使えそうです

科学の力ってすげー!
※おなじみのやつはこちら


2013-10-27 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2005前期「4」理系

東京大学2005前期「4」理系

問題文


a2-aは因数分解すると
aとa-1で出来ています

隣り合う数は互いに素ということが今回とても大きな条件となります

その他aが奇数だとかの条件から
aの表し方が決まります


もうパターンとしてはかなり少ないので、具体的に計算ができます
それを表にしてみました


ここから
a-1が24の倍数となっているものを選ぶと実はひとつしかなかっ
たんですね



2013-10-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学1996前期「3」文系

京都大学1996前期「3」文系

問題文


行列においてAnとあれば
ハミルトン・ケーリーの定理によって次数下げをすることが多い

です


よって元の式はこんな感じに変形できます
この変形の仕方はパターンです


さて、
行列Aの係数が0かそうでないかで場合わけをします
これも行列においてのパターンなので覚えておいて下さい




次に係数≠0のときを考えます
すると行列AはEの定数倍になりますね



2013-10-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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英文読解入門

数日前に言っていたやつです


英文読解入門基本はここだ!―代々木ゼミ方式 改訂版英文読解入門基本はここだ!―代々木ゼミ方式 改訂版
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これを瞬殺してレビューとか言ってました
とりあえずレビューとして


思ってたよりむずかった
です

タイトルからあるように入門向けだとのことです
確かに初めの100ページくらいは
受験生として名乗るならこれくらいはできとかないとね

といった感じのものが多かったです


が、

後半はガチであり
どっかの国立ででてもおかしくないレベルの難しさ

かといってまったく意味不明というわけでもなく

うーーーーん

と悩めばできるくらいのレベルになっていました

よかったのは説明が一貫していたので
和訳に関しての型ができやすいのではないかということでした

今、僕が考えている「型」というものへの足がかりになりそうです。

2013-10-26 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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エナメル

エナメルenamel

よくみる単語ですがこれ明らかに外来語です

そこで日本語を調べると

琺瑯(ほうろう)

なんか一気に厳かな雰囲気がでます

日常でもどんどん使って行きましょう


ex1)デート編
彼女「このエナメルの靴カワイー」
あなた「琺瑯だろ」
彼女「えっ」
あなた「琺瑯(ドャァ」


ex2)日常でよくあること編
あなた「静まれ!おれの琺瑯質の右腕!静まらんか!琺瑯質の!琺瑯質の!」



危ない友達がたくさん出来ます

2013-10-24 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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文系

文系の先生で気軽に話せて、信頼できる力を持った先生と知り合いになりたいなぁとおもうこの頃

理系の人なら単純なことでも
「これなに?」ってLINEで送れる人は多数いるのだが
社会はいいとして
国語や英語になるとどーも難しい

文章を読む時間が必要になってくるしな
そこらへんなんとかなったらよりよくなると思うのだが

という意味のない感想でした

2013-10-24 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1996前期「2」理系

東京大学1996前期「2」理系

問題文


問題文にある満たして欲しい条件を言い換えて見ます


この四つが示せればいいので
問題文の不等式をいじりまわします


軸の位置が正とわかったので
二次関数の形から
④が言えれば、③も言えます


最後に②ですが
これは式を変形すれば示すことができます



2013-10-23 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1987前期「1」理系

東京大学1987前期「1」理系

問題文


行列には形から回転行列が含まれています
この回転角が聞かれているわけです

二つの直線がありますが
y=2x+1からy=-3x-1へ移すときの回転角が
求めるものと一致します

なので絵を描いてみると回転角はすぐにもとまってしまいました



2013-10-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1988前期「1」理系

東京大学1988前期「1」理系

問題文


条件が3つと書いてあるので、まずはわかりやすく言い換えます


逆行列の存在を考えるわけですから
行列式>0を示します

条件が使えるような変形をします


次にf(P)を使えるようにPを設定します


これらを文字消去しようと変形すれば
簡単に示すことができました





2013-10-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2007前期「4」理系

東京大学2007前期「4」理系

問題文


(1)
行列は成分を出す前にそのまま計算すると楽になることが多いので、
今回もそのまま進めてみます



(2)
(1)で求めた式が使いたいので
行列式を考えてみました


この式を用いれば計算がかなり楽そうですね



(3)
PQ=0だったりP2=Pとなったり
これらがあるから求めるものは意外と簡単になります

帰納法かなにかで示すべきかは分かりませんが、示すとしてもかなり簡単なので問題はないでしょう



2013-10-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1995前期「6」理系

東京大学1995前期「6」理系

問題文


(1)
まずは接線を求めないといけません
接点を設定します


双曲線の漸近線は知識としてあるものを拝借します
右辺=0になるものが漸近線と思っておけば十分です

この漸近線と接線の交点の座標を求めます


O(0,0),A(a,b),B(c,d)からなる三角形の面積は
S=|ad-bc|/2

より面積を出してみるとすんなり答えが得られます



(2)
aやbを指定されています
やることは微分で増減を求めるだけなのですが
直接やると少し大変そうだったので
ここでは文字の置き換えをしてみました




2013-10-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2000前期「1」理系

東京大学2000前期「1」理系

問題文


条件を踏まえて図示するわけですが
明らかにわかっていることからできるだけ簡単な式をたてます

文字だらけにしてもいいのですがこういうところで頭を使うだけでのちに楽ができますね


では接することを考えましょう
対称性から0

ごちゃごちゃしていますが単なる二次関数になっています
これがさっきの条件をみたすことを考えます


楕円の面積は
長半径a,短半径bを用いて、
πab

で得られますが
さっきの条件から変数が一つになりますね



2013-10-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1990前期「1」理系

東京大学1990前期「1」理系

問題文


Σの部分の評価について
面積による評価がよく見られます

今回の評価の仕方である
曲線の面積とブロックを横に並べたものの面積の比較の仕方は
とてもよくみるので覚えておいてください



次にbkについて考えます
流れとしてanを使いそうなのでなんとか関連性を持たせようとすると
つぎのような不等式が得られました
この不等式が得られてしまうと最後まで一瞬で済んでしまいました



2013-10-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2007前期「2」理系

東京大学2007前期「2」理系

問題文


条件が文字だらけでごちゃごちゃするかもしれませんが落ち着いて書いていくと
どうやら相似な図形が並んでいるだけのようです

なので相似比からakを求めることになりそうです


a1は余弦定理から求まります
なのでsnが求まります


この収束を考えるわけですがごちゃごちゃしてしまいそうなので
分けて考えます

もちろんn→∞は同時に行います

θ→0において
(1-cosθ)/θ2=1/2

x→∞において
(1+1/n)n=e

となる知識を使います


よって二つは収束するのでそのまま答えになります



2013-10-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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えいご

塾で英語を教える機会がありまして

なんてこったと反省することがたーーーくさんありました

最近お世話になっていた英語の本を覚えてしまって路頭に迷い始めていた時期だったのでなかなか痛い


と、いうわけで


まずは「こいつ↓を瞬殺してみてレビューを書くこと」を小目標としてがんばってみることにする


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使える、教えられる英語力強化!!

2013-10-21 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1991前期「1」理系

東京大学1991前期「1」理系

問題文


どの面が地面につくのかは実験してみると

直前にどの面がついているのか

これだけに縛られます
なので直前との関係式、すなわち漸化式を立てることを考えます


これらから式をたてましょう



漸化式の基本
Fn+1=r・Fn
の等比数列型に変形して解く

に基づいて解きましょう



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1987前期「4」理系

東京大学1987前期「4」理系

問題文


回転体の基本は回転軸に垂直な断面における距離をみることです
そのために直線APを表してみましょう

空間上の直線はベクトルを用いると表すのが楽ですね


では断面をみていきます
x=kとして固定したときの断面を考えるわけです


この断面を足し合わせていきます
すると体積が得られます


平方完成ができるので、それにより最小値が得られます



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1993前期「4」理系

東京大学1993前期「4」理系

問題文


積分を考えるので
まずは二乗してみます


積分の範囲から偶関数か奇関数かを考えるとよさそうです

-α→αの積分において
∫(偶関数)dx=2×∫(偶関数)dx (0→α)
∫(奇関数)dx=0


このためnの偶奇で場合わけをしています
すると、p,qについてただの二次関数になるので
平方完成により最小値が得られます




2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2002前期「5」理系

東京大学2002前期「5」理系

問題文


まずいろいろな条件を言い換えてみます
PkQk=1
とあります


体積を求めるために底面積となる△OPkPk+1
の面積を求めます

O(0,0),A(a,b),B(c,d)からなる三角形の面積は
S=|ad-bc|/2



よって体積はこれに高さをかけたものになります


式の変形ですがΣとlimと1/nからなる式がありました

lim(n→∞)1/nΣ(k=1→n)f(k/n) =∫f(x)dx (0→1)
です

変形した積分の中身は円の上半分になりますね



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1995前期「2」理系

東京大学1995前期「2」理系

問題文


なんにせよg(x)が分からないうちはすることがないので積分を解いてみました


ここで示すべき不等式をみてみると
{f(a)+f(b)}/2 ≧ f((a+b)/2)
となっています

左辺は平均値となっていて、
座標でいえば
x=(a+b)/2における二つの点の平均値です

右辺は
x=(a+b)/2における関数f上の点となっています

すさつまり左辺と右辺は同じx座標における高さを比較すればいいと言えます

そこで凸性をみればいいという発想が出てきました
要は下に凸であれば不等式が示せるということですが
それは絵をみてもらえればいいかと思います



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2001前期「3」理系

東京大学2001前期「3」理系

問題文


それぞれの面積を求めます
どちらも基本的です



よってC(t)がもとまりますがこの増減を考えることになります

多項式+多項式×logは
logの前の多項式で括ると計算が楽になることがある
というコツがあります


C'(t)<0となればいいのですが
それは後半分の正負で決まります
その部分をみていきます

ここでさっきのlogのまとめ方が生きてきます



2013-10-20 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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プロフィール

ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

質問やご指摘等ありましたら下のメッセージボックスかコメント、あるいはメールをこちら↓にお願いいたします
yukavector☆gmail.com(☆を@にしてください)

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