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[数学]慶應義塾大学理工学部2004前期「5」

慶應義塾大学理工学部2004前期「5」

問題文



(1)

Σ1/kのような
分数の和の不等式は面積の比較によって得られることが多い

ので絵をかいてみます

棒を足し合わせた部分と曲線の下の部分の大小から不等式を立てます
とくに変形するわけでもなく答えが得られました




(2)
上で得られた不等式をいじってみます
すると
S(n)+1/nは減少関数とわかります

具体的に代入して行くとk=3のとき、都合がいいことに気づきます



ただし、この不等式は1≦ k< nを満たす時のみ使えます
よってn≧4のときのみ示たことになるわけです

のこりは具体的に計算すれば大丈夫ですね



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2013-11-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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夜食

母様が夜食を作ってくれました



なんというゴージャスさ
雑炊でございます


そして美味いのだ

2013-11-29 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1994前期「5」理系

東京大学1994前期「5」理系

問題文
1_201311280104352a6.jpg


(1)
36通りしかないし書けばいいじゃない

ということで全部書きました

問題文にわざわざ確率が正であると書かれていて、
はじめはあたりまえすぎて意味がわからなかったですが
(2)を始めるとなるほど!となります

ここで得られる不等式が(2)で必要なのですね
2_201311280104363f8.jpg


書けば(1)は説明するまでもなく終わってしまいます
3_20131128010437fab.jpg


(3)
Eをp,qについて平方完成してみたのち、
p,qの逆数が整数になるという条件を使います
4_2013112801043856d.jpg


ここでさっきの不等式がつかえます
整数の不等式の変形の基本は積の形を作り出すことです

Eの形からlやkは小さい方が良いとわかりますね
5_20131128010545cd2.jpg


kが小さくなればlが大きくなるので
これは具体的に計算してみないとEがわかりにくそうです
具体的に計算すれば結果は明白になります
6_20131128010547b65.jpg


2013-11-29 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1996前期「5」理系

東京大学1996前期「5」理系

問題文


イメージが取りやすいように容器の形をくさび形にして考えてみました

この問題は小学生の時分にやった
お風呂に飛び込んだら水が溢れました
残りの水はいくらでしょうか?
のような問題と似ています

よって水の量について考えてみることにしました
z=-tよりしたの部分の水の体積はかわっていないので
それより上の部分を考えて行きましょう

図形は平行移動するだけです



積分のなかの変数z+tを少し見やすくしておきます


初めに言ったように水の体積についての等式を立てます


関数r(u)が求めたいわけですが
その積分形があります

これは微分したらいいのではないかと予想がつきますよね
これは
定数→α(t)について
{∫ g(t)dt }'=α'(t)・g(α)

という知識があればしっくりくると思います



2013-11-28 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1997前期「5」理系

東京大学1997前期「5」理系

問題文


まず、不等式を等式に変えたものは
y軸、x軸にそれぞれ対称です
この対称性に気づけないとこの問題は時間内には解けません

第1象限のみを考えてみましょう

まずはグラフの形が知りたいので微分します



これによってイメージ図がかけるはずです

つぎにこれを回転させます
セオリー通り
x≧0において
1/√2の左側の部分をx1、右側の部分をx2とします

対称性からy≧0の部分を二倍することにしました




積分関数がx2-a2
と表される場合、
x=asinθとおく

ことができます

わざわざ最後に平方完成していたのはこの変形を目指していたからなんですね

この変形を思い出せばあとは計算だけでした



2013-11-28 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1997前期「1」理系

東京大学1997前期「1」理系

問題文


(1)
まず、Cの座標の候補としては二つありますね
しかし一個は必ず負になるので考えなくても良いことになります

三角形OABは直角を含むので
∠Aと∠Bが同時に60度を超えることはありません

よって二つの角度が60度になるためには
Cの座標が第一象限以外に入らねばならないからです


Cの座標を求めるには、
回転行列、ABの垂直二等分線など様々あると思いますが

ここでは単位ベクトルを使ってみました
ABに垂直な単位ベクトルを考えるわけです


この単位ベクトルを用いてCの座標を求めます
ここで有名な1:2:√3を用いています


A,B,Cすべてが領域Dに含まれるので
これら座標についての不等式を立てれば良いです




(2)
まずは面積を出して見ます
すると式の形からSは
(a,b)と原点との距離が遠いほど大きくなることがわかります


領域は対称性があります
さらにdの長さは
bが同一であればよりaが大きい方が良いですよね
そこからSが最大となるときには
bとaは関係を保って動かす時であるとわかります


もとのSに代入すれば答えとなります
対称性があるとして無視した点F'を忘れないようにしましょう



2013-11-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2012前期「2」理系

東京大学2012前期「2」理系

問題文
1_20131125121040a91.jpg


よくわからないので実験をしてみると、
どうやらnが偶数のときのみQがとどまっている可能性があることがわかるわけです

斜線を引いてみたところ考えるべきnは偶数で、そのときたったの三箇所にしかとまらないとわかります
2_20131125121042d40.jpg


ではnが偶数のときを考えるわけですが、
今回は東大が割と好きな
漸化式を使う確率の問題となっています

留まる点か3つしかないから文字でおいてしまって直前の状態から考えます
3_20131125121043a97.jpg


はじめの状態を考えると、それぞれの確率は以下となります
4_20131125121046e87.jpg


これを漸化式に代入すればもとまるわけですね
5_20131125121059927.jpg


まとめると答えは以下となります
6_20131125121100812.jpg



2013-11-25 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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9

医者の卵さんからの質問返しです

東京大学1985前期「1」理系の問題です

この問題は
面積をだして微分
で終了ですが
・未知数αを置くことができるか
・多変数の処理ができるか
がミソとなっているように思います


多変数の処理(今回はaとαの二変数)の基本は
・変数の範囲に注意して文字消去
です

消去できるならどの文字でも基本的にかまいません
とにかく大切なのは文字の範囲です

今回はたまたま0≦α≦π/2や1 < aは初めからわかっていたので楽です

まずはy=1とy=asinxの交点のx座標をαとして面積の差を出しますが
ここは問題ないようなので割愛します


つぎに文字消去です
もちろん
aとαの文字どちらを消しても構いません
が見た目が楽そうなのでαを消してみようとするひとが多いようです

すると、受験知識では無理な箇所が出てきます


なので逆にaを消してみます
結果として得られたものは計算出来ますよね


あとは微分すれば答えが得られますよね


いかがでしたでしょうか
納得されましたら↓のランキングをポチッとお願いします!(^-^)/


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【追記】
上記の解答では、αを変数として間接的にaを出して見ました

今度はsin関数の逆関数arcsin関数を持ってくることで
aの関数として解いてみます
(定義域から一対一の対応はできています)
arcsinの積分形は次のようにかけるので
こちらを使います


これによりS2-S1は変数がaの関数として表せます

これを微分するわけですが

定数→xでの積分について
{ ∫ f(t)dt}' =f(x)

を使います


f'(x)=0となるときを考えて行きましょう
するとこれは答えと一致しますね



2013-11-22 : 質問返し : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2006前期「5」理系

東京大学2006前期「5」理系

問題文
1_20131122110315f7c.jpg


(1)
非常にシンプルな不等式です
私は帰納法で示しましたが、他にも色々あるかもしれません
2_20131122110316ddd.jpg
3_201311221103189ff.jpg



(2)
これもほかにいろいろあるかもしれませんが
(1)で示した不等式をつかってみました
bn=1/an
の関係があるためです
これを足し合わせてみます
4_20131122110319640.jpg


右辺の分数の和を考えないといけませんが
これを簡単な式にするのは難しそうです

この和の形を見て
面積比較による不等式がつくれそうだ
と思い出せば次のような不等式が作れます
5_201311221104297d2.jpg


これで挟み撃ちの原理がつかえます
(n→∞)logn/n→0は既知としています
6_2013112211043156d.jpg



(3)
(2)をつかって示すのだろうなとかんがえて
如何にして(2)の和をつくりだすかを考えました

そこで与えられた漸化式をbnであらわしたものをよく見ると
階差数列になっています

階差数列はバサバサと消去していくセオリーにしたがって整えてみると
(2)の形が出てくるんですね
7_20131122110433714.jpg


ここまでくれば答えの形をもってくるような次の変形は問題ないかと思います
8_201311221104355e9.jpg



2013-11-22 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2006前期「2」理系

東京大学2006前期「2」理系

問題文


(1)
書いてみるとわかることなのですが
この問題は結局のところ
三個目の×を考える必要がないため
最初の×を除き、

・×が0個
・×が○○の列の中のどこかに一個

の二つの状態を考えるだけで良いことになります



(2)
(1)ができるならこちらは問題ないはずです
さっきの二つの場合について起こる場合を並べて、
その確率を足して行きましょう



2013-11-22 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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エラーメッセージ「お久しぶりですね(ニッコリ)」

またやられました…

pcのクラッシュ…

データをまだ移していないというのに!

データを取り出す作業が始まる…

2013-11-19 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2005前期「1」理系

東京大学2005前期「1」理系

問題文


(1)
微分したものを考えて
xの係数をa,logの係数をbとするわけです

帰納法で示すのが一番簡単かと思われます
以下はその概要です



漸化式は帰納法の途中で得られましたね



(2)
ここからはさっきの漸化式を解いて行くことになります
明らかにbnの方が簡単そうなので解いて行くことになりますが
並べるだけなので説明は特にありません



ここから一工夫します
とはいえよくみるパターンですから変なことを考えたわけではありません

hnをわざわざ与えてくれているということは
この形に変形しなさいというメッセージです
では、そのかたちをつくってやらないといけません

そこで、
F(n+1)-F(n)の形を作るために
割り算をしました


これでF(n)の階差数列ができました
階差数列は次々と出して行く例のアレを意識しておくといいですね



2013-11-18 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1992前期「1」理系

東京大学1992前期「1」理系

問題文


(1)
とりあえず面積を出してみることにします
log関数の積分と台形ですね


これが最も近づくということで
面積の差が0になると考えました
2のほうがS1より大きいので
最小となればいいですね


得られた今の等式を用いてbを消去すると答えになります



(2)
1とS2はかなりややこしい見た目になっています

logとaの部分を別々に考えれば見やすいかもしれません


これで収束する形になっています
計算が大変でした


2013-11-16 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2008前期「1」理系

東京大学2008前期「1」理系

問題文


(1)
f(p)が描く直線を求めるためにpを座標でおいてみました


このxnやynは①を満たすはずです
よって代入して形を整えると、
求めるものが出てきます

直線が成り立つかどうかなどの吟味はいらないと思い省きました




(2)
漸化式をいじってanやbnを出して見ましょう


でてきた階差の形をみると
すこんすこん消えていくやつをやるのはもはや定番となっています


さて、nの変化についてどのように直線が動くかを考えます
連続的な変化をする直線の変化において考えるべき点として有名なもの
・定点はないのか
・傾きはどう変化するか


この二つくらいがわかれば書きやすくなるはずです
変化するnに対する定点と傾きを求めてみました


このことを踏まえれは答えになります
x+y=1の一部を含む理由は
n→∞となるとき
x+y=1に近づく(≠重なる)だけだからですね



2013-11-12 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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スキャナ

こんばんは

今回はこんなのを買ってみました


FUJITSU ScanSnap S1100 FI-S1100FUJITSU ScanSnap S1100 FI-S1100
(2010/11/22)
富士通

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スキャナですね


このブログのなんちゃって解答を作成しまくっているときに
画像の取り込み方を変更したところ
なかなかお褒めの言葉を頂きまして
現在の答えのほうが見やすいなぁとおもってがんばっていました



コピー機一体型(フラットベッド型)だとめんどくせえええええええ
ってなっていました

ひょんなことでこのシートフィード型のハンディタイプをおいてみたんですが



たのしいいいいい

そんなわけでちょっと高かったものの
いい出費になったんじゃあないかなぁとおもっております



富士通 ScanSnap SV600 FI-SV600富士通 ScanSnap SV600 FI-SV600
(2013/07/12)
富士通

商品詳細を見る

本当はこれをかいたかったのはナイショ

2013-11-11 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1988前期「6」理系

東京大学1988前期「6」理系

問題文


シンプルな条件ですがうまく考えていかないといけませんでした
座標を設定し、B,C,Dが半径4の球上にあるようにします

また
空間上の三点はある平面上に書くことができるので
これをB,C,Dがxy平面と並行な平面上にあるようにします


というわけで底面積となる△BCDの面積がどんな形のときに最大となるかを考えます

計算が簡単になるように、半径1の円を考えます
これを相似拡大すれば求める図形ができるからです


よって求める図形は正三角形のときに最大となります
この面積を求めておきましょう


次に高さを考えます
高さは底面に垂直なのでz軸方向に伸びています
この高さが最大となるのは明らかに球のてっぺん
つまりz=1のときになりますね


これで変数はrだけなので最大となるときは
微分によって簡単にもとまりますね



2013-11-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1991前期「4」理系

東京大学1991前期「4」理系

問題文


(1)
自然数だしとりあえず帰納法で示してみるというのがすぐに思いつくかなとは思いますのでやってみました


そして仮定します


これを用いてn=k+1のときを示します
すると漸化式が得られますが
この漸化式が(2)におけるヒントになります




(2)
さっきの漸化式を使って示すことにします
こちらも帰納法で示すことができました





2013-11-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1985前期「5」理系

東京大学1985前期「5」理系

問題文


これは…わけがわかりませんでした
というわけで様子を見るために実験です
n=0をみてみましょう
すると意外とシンプルです


調子に乗って次の数もみていきます
すると規則性が見えて来ました


この予想が正しいことは帰納法で示すことができます
その一部を書いておきました


PnがP0で表せました
しかしこれでは答えになりません

Pについての条件はΣの式があります
Pnがわかっているので
この式を使うことができますね


これはセンターでも良く聞かれる形になってます
数列をSn、公比をrとすれば

Sn-rSnを計算すると
単純な形になる

というものです


ここで収束して欲しいのが
n/2n
ですよね

直感として0に収束しそうですが
一応示しておきました
二項展開の一部から不等式ができます



2013-11-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1987前期「3」理系

東京大学1987前期「3」理系

問題文


まずはx,y,z軸との交点をおいてみました
すると面積がそれらの文字であらわせます


この文字を与えられた条件からa,b,cに書き換えます
平面LはPQに対して垂直ですから
平面上のベクトルとPQベクトルの内積は0です


Qは球上の点です


これらを用いてSの文字α,β,γをa,b,cに書き換えます


三変数もあるので変数を減らしたいところです
①ではαなどがでてしまうため使えません
よって②を使うわけですが
なんとかしてabをa2+b2に書き換えられればcだけの関数になります

相加相乗平均の関係
a>0,b>0のとき
a+b≧2√ab

を両辺を二乗すれば
a2+b2≧2ab
となりますね


もう一度同じことをします
等号はa=bかつc=2/cのときですね
これは②の範囲をみたしています



2013-11-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2008前期「4」理系

東京大学2008前期「4」理系

問題文


(1)
条件はPQの長さや傾きですよね
なのでPやQの座標をおいてしまいましょう
ここでp一般性は保たれています
(例えばqqをpの一つ、pをqの一つと見なせば
p

これらをいじってhと関連づけます
p2+q2が欲しくて
もっているのは
p-qとp+qの条件です
pやqを求めても良いのですが、ここでは次のように一発で出してみました

これはよくやる変形の一つです



(2)
なにはともあれ微分しますね
hはmについて偶関数なのでm≧0のみをかんがえます


Lの値によってh'=0となるmの値が変化します
なので場合わけをしなければなりませんでした



2013-11-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2007前期「6」理系

東京大学2007前期「6」理系

問題文


(1)
不等式の比較です
積分形の不等式の比較は面積から持ってくることが多いので面積を考えます

中点における接線はなかなか思いつきにくいかもしれませんが
面積の比較において中点をかんがえるのはわりとシンプルでよく見るので気をつけておくのもいいかもしれません




(2)
まずlog2を考えると
真ん中の積分がlog{(a+x)/(a-x)}なので
a=3xとなり、
結局積分の範囲が
上の数値が下の数値の二倍になればいいことがわかります

なので例えば
上の数字を8x,下の数字を4x
としてみました

しかし計算結果から範囲がゆるいことがわかります

ここで
不等式の評価はより厳しくできるように工夫するのが良いですよね

今回の工夫は
積分の範囲を狭くすることです

なぜかというと(1)の図からわかるように
積分範囲が広がるほど
台形と積分の面積部分の誤差が増えますよね

ならば積分範囲を狭くすればよいという発想です

ここで
∫(α→β) f(x)dx +∫(β→γ)f(x)dx
=∫(α→γ) f(x)dx

という積分範囲の合成が役に立つわけです
今回は
4x→8x

(4x→6x) + (6x→8x)
となるようにaを決めました



2013-11-08 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1996前期「1」理系

東京大学1996前期「1」理系

問題文


条件がfによるcの像で与えられています
c上の点を考えてこれをfによる操作で動かすことを考えます


①から得られるのはa>0より円となりました
この円が条件を満たすことを考えて行きます


場合わけはやはり中心がx=2/3のどちらにあるかで考えます
a=2/3のときは不適なので外しています



少し絵を書くのが大変でしたがこれらを満たすものが答えになります



2013-11-08 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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あんけ

アンケートの結果が帰ってきました

結果


驚くほど高評価でした

もう一度

驚くほど高評価でした



他の方のアンケもチラ見してみましたが
酷評も多かっただけに
シンプルに嬉しく、ありがたかったです
授業プリントをせかせか作った甲斐があった


こちらのブログの方も
何か悩み事があって解決策のとっかかりになるものが何かあれば幸いですね
(^-^)/

頑張って行きましょう!

2013-11-07 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]京都大学2004後期「1」理系

京都大学2004後期「1」理系

問題文


関数fのかっこの中身が1より大きいか小さいかで関数fの表すものが変わります

なので場合わけをします


よってグラフを図示してみると
放物線の一部となっていますね

対称性から計算を楽しています


分子の根号を有理化してみれば
極限値がもとまります



2013-11-05 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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study plus

こんにちは
なにかと忙しい時期が来ました

今回はたまたま見つけたツールの紹介でもしてみようかなと思います

study plus」というアプリです

これは勉強のリズムチェッカーみたいなものでこんなかんじで時間と本を記入できるものです



これらの結果が棒グラフや円グラフで表されます

これの良いところはこのグラフがみやすいところです


また、友達登録ができるので
学校や塾の(信頼できる)友人がやったものや時間がわかるので
競争でもすれば楽しいかもしれません

(※私には競う友人はいませんが楽しいです)


(※私には競う友人がいませんが楽しいです)




以上です


2013-11-05 : つらつら : コメント : 4 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1985前期「4」理系

東京大学1985前期「4」理系

問題文


(1)
まず座標を出したいわけですが
そのためにAnが必要ですね
具体的にやってみると規則性が見えます
よってこれを示すわけですが
ここでは割愛します


これを用いて座標が得られます


よってfnの形を作れば良いですね



(2)
fnの最小をかんがえるので
fnとfn+1との大小を考えます


どんどんみやすい形に変形していくわけですが
ここでの変数はnなのでできるだけnをまとめます



2013-11-05 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2002前期「4」理系

東京大学2002前期「4」理系

問題文


直線が直交しているという条件のため
Qを座標で表してみます
それを用いて計算です



傾きm1、m2が直行するとき
m1・m2=-1

ですね
これらを変形して行きますが六次式なんて解く気がおきないので
範囲に注意して文字の置き換えをしています


微分すると、場合わけが必要になることがわかります
よって場合をひたすら分けます

その場合においてf(z)=0.となる場合を考える"解の配置"のおさらい問題となっていました
ここからは計算が少々大変でした




以上をまとめると
答えは非常にシンプルです



2013-11-03 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1995前期「3」理系

東京大学1995前期「3」理系

問題文


(1)
漸化式を立てるので
n-2やn-1とnとの関係を絵にしてみます


一番上のものと一番したのものをよくみてみると
これは同じことをしているんですよね
(最後に縦のいたを敷いて終わる)

なのでダブりとして一つを除外して考えます



(2)
漸化式を解きます
これは三項間の漸化式なので
等比数列型
F(n)=r・F(n-1)
に変形
するのが基本でしたね



2013-11-02 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

質問やご指摘等ありましたら下のメッセージボックスかコメント、あるいはメールをこちら↓にお願いいたします
yukavector☆gmail.com(☆を@にしてください)

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