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[数学]東京大学2000前期「6」理系

東京大学2000前期「6」理系

問題文
1_20131230164133321.jpg


(1)
3×3の行列です
計算が大変なだけなのでここは素早くすませたいところです
2_20131230164135cfd.jpg
3_20131230164136366.jpg
4_20131230164138a5d.jpg



(2)
文字が6つもあります
求めるものはxz平面での断面なので、
a,b,c,yの範囲を考えることで、
逆算的にxzの範囲を出して見ました

文字を消去するときは範囲に注意します
5_20131230164130331.jpg


さらにこれを繰り返して文字を一つずつ消してみました
6_20131230164153294.jpg
7_2013123016415443f.jpg
8_20131230164156181.jpg



直線の傾きはtの範囲によって変わります
よって場合を考えなければなりません
9_201312301641585fe.jpg


なので場合をわけします
10_20131230164159b71.jpg
11_201312301642165d9.jpg


以上で答えです
12_20131230164213695.jpg




(3)
断面積S(t)について足し合わせていくだけです
ここはサクッといけました
13_20131230164215d58.jpg





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[数学]東京大学2002前期「3」理系

東京大学2002前期「3」理系

問題文
1_201312301740008b2.jpg


まず球面Sはz軸に対して円を回転させればよく、
対称性があります

よってxz平面でのPをz軸に対して回転させれば求める点が得られるはずです
2_20131230174002802.jpg


xz平面でのLを考えて見ましょう
平面で考えるためLは直線とみなせます
3_20131230174003b94.jpg


点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離dは
d=|ap+bq+c|/√(a2+b2)


によって計算しています
4_2013123017400470c.jpg


これらの長さに条件がありました
それを計算しています
絶対値があるので場合わけをしています
5_2013123017395833f.jpg


これらによって範囲が得られました
これをz軸に対して回転させればいいです
xz平面での図系が円なので回転すれば球になります
6_20131230174012a1f.jpg




球から球をぬいたものなので体積計算は簡単なはずです

πの入った不等式の評価は
3.14<π<3.15とすることが多い
ですね
7_20131230174013c94.jpg




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[数学]東京大学2008前期「6」理系

東京大学2008前期「6」理系

問題文
1_20131230165754f81.jpg


xとyはtについての変数です
よってtについて微分して増減を見て行きました
2_20131230165755d09.jpg


yについても見て行きます
y'=0のときを考えるためグラフを使っています
3_20131230165758490.jpg
4_20131230165759ddd.jpg


これで概形が描けます
媒介変数表示の関数を求めるために
名前をつけておくパターン通りに行きましょう
5_20131230165800620.jpg


これを式にしましょう
6_201312301658124b9.jpg


ここまでくればシンプルな計算です
よって落ち着いて計算しました
7_2013123016581461b.jpg




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[数学]東京大学1999前期「3」理系

東京大学1999前期「3」理系

問題文
1_201312272353456b5.jpg


(1)
各辺に名前をつけて考えてみました
電気が通る場合と通らない場合は
全部で22=64通りあります

これを全て書くのは大変なのですが
1が通電できるなら
ほかのどの場合も通電できています

よって64通りの半分の場合がおわってしまいました
のこりの32通りくらいならかくことが容易いはずです
2_20131227235348458.jpg


ここから確率を考えてみます
3_20131227235350918.jpg



(2)
A→Bの場合とE→Fの場合は
対称性から確率は同じになります
よってA→Bを二回行うと考えれば良いですね
4_201312272353519f5.jpg




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[数学]東京大学2005前期「6」理系

東京大学2005前期「6」理系

問題文
1_20131227232214910.jpg


空間図形では
ひとつの座標を固定してその断面を考えるのが基本です

今回は不等式の向きが揃っていたほうが考えやすいかなと思ったので
xを固定して考えることにしました
2_20131227232215c05.jpg


この不等式の表す区間を考えますが
tの範囲によって断面の様子が大きく変わってしまいます
3_20131227232216f15.jpg


断面積を考えます
断面積を考えるために角度θを用いてみます

四角形-三角形二つ-扇形
でもとまります
4_20131227232218184.jpg


体積はこれをtについて積分すればよいですね
5_20131227232220c5d.jpg


積分するため
t=rcosθとおいて置換しています
5_20131227232220c5d.jpg


この値を代入して答えになります
7_201312272326420ea.jpg



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[数学]東京大学1997前期「6」理系

東京大学1997前期「6」理系

問題文
1_20131225174548ae2.jpg


やることは単純なパターンですが
計算を工夫しないとえらいことになりました

(1)
共通接線ですね
共通接線は片方の曲線から接線を考え、
その接線がもう一方の曲線と接することを考える

というパターンで行きましょう
2_20131225174549f0e.jpg


解となる座標が重解であればよいです
判別式D=0とすればよさそうです
3_201312251745501ab.jpg


得られたtの式の解が0以外に二つあれば
x軸以外の接線が二つあるといえますね
4_20131225174551f6b.jpg



(2)
この問題は文字の置き換え等
計算を工夫しなければかなりの計算量になりました
まず、放物線は下に凸な関数なので接線によって囲まれる部分の面積のイメージはしやすいかと思います

このイメージができればあとはパターンとなっていますが、
計算を間違えないように進みます
5_20131225174546c6b.jpg


つぎに、積分のため
接線どうしの交点を求めます
6_20131225174604786.jpg


図のイメージから積分します
慎重に進めてください
7_20131225174606453.jpg


さて、最後にXαやXnをaに置き換えます

ここでは工夫のため、解と係数の関係を使いました
8_2013122517460783c.jpg




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[数学]東京大学1993前期「2」理系

東京大学1993前期「2」理系

問題文
1_201312251044328e5.jpg


(1)
実験すればわかるとは思いますが
nが三の倍数のときanが3の倍数となります

これを示すために、数列は偶奇に対して循環しているといえばよいでしょう

以下の式をみてくればすんなりわかると思われます
2_201312251044340f4.jpg




(2)
こちらは10の倍数ですが(1)との絡みを考えれば
5の倍数の周期を考えれば良いとするのがナチュラルではないでしょうか?

というわけで実験して周期を見出すのは(1)と同じです
3_2013122510443558b.jpg



anが偶数かつ5の倍数であればよく
nは3の倍数かつ4の倍数であれば良いですね
4_20131225104437054.jpg




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[数学]東京大学1997前期「3」理系

東京大学1997前期「3」理系

問題文
1_201312232349486e0.jpg


(1)
Pの座標をおいてみましょう
そして等式を計算してみます
2_20131223234950928.jpg


この時点でy,zは共にxによって決まることがわかります

ただ、zについての等式はz2ですよね
実数zの二乗は必ず0以上となります

この縛りがあるためにxの取れる範囲が決まるわけです

その縛りの中の実数xが存在

そのxでyやzを表現できる

ということです
3_20131223234952b3c.jpg



(2)
内積をけいさんしてみましょ
yやzはxで表すことができます
4_201312232349548a7.jpg


さてこの式についてみると、rを無視すれば
xによって変化する式ですよね

さらにxの係数は正です
よってこのx(とr)の式はxに比例することがわかるはずです

そして
xが最大の時M(r),
xが最小の時m(r)と名付けます
5_20131223234955659.jpg


xの最大と最小はどうやって決まるのでしょうか
これは(1)の途中を思い出せば
②より
xは取れる範囲が決まっていたんでしたね
6_20131223235101cf5.jpg


よって計算ができるはずです
7_20131223235104d92.jpg




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[数学]東京大学1997前期「2」理系

東京大学1997前期「2」理系

問題文
1_201312232317110d1.jpg


まずは大雑把に代入して見ることにしました
必要条件を得ることで計算が楽になったりするからです
2_2013122323171454e.jpg



mについて考えると二次関数ですよね
これを平方完成して考えるのが自然で、思いついたことではないでしょうか

mを実数全体に拡大して
二次関数が解をもつのか、持たないのかで場合わけをして見ました

実数全体で解がなければ整数mで負になるなんてことはありえないですからね
3_20131223231716a26.jpg


つぎに解を持つ、すなわち負になる部分がある場合を考えます
問題は整数mで負にならなければいいわけです
なので軸に最も近い整数部分で負にならなければいいといえます
(イメージは図からみてください)

ここで必要条件が生きてきます
4_20131223231718b00.jpg



以上より答えになります
5_201312232317207d8.jpg




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2013-12-23 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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イベントが終了

ここ最近アップが滞っておりました

プリンターが壊れてみたり
ブログがおかしくなったり

年末の掃除をしてみたり
はたまた
人生初の結婚式、披露宴に参列させていただいたり

いやーー


わちゃわちゃしてましたね

とくに結婚式の方なのですが
近しい間柄の友人の結婚式だったのでテンション上がりっ放しで寝るのがしんどかったくらいです

さらに披露宴での余興を頼まれ、その準備やらなんやらでバタバタしていました

しかしその分式がものっっすごく楽しいものとなり
幸せを頂いて帰ることができたように思います


いやー楽しかったです

2013-12-23 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1994前期「3」理系

東京大学1994前期「3」理系

問題文


(1)
立体の体積は断面図を考えるのが基本となっていますが
今回はz=kとするといいようですね
さらにk=cosθと置き換える指定もあります


扇形から三角形を抜いた形になっていますね
扇形の面積は半径rと角度θを用いて
S=(r2θ)/2

ですね




(2)
断面はzに垂直なので
断面積をk:0→1の分だけ足し合わせれば
それが答えになるはずです
ここでk=cosθと置換するとき、
積分範囲に注意です


一つずつ処理します

部分積分
∫f・g'dx=f・g - ∫f'・gdx



∫f(cosθ)sinθdθ、∫f(sinθ)cosθdθは
それぞれ
cosθ=t,sinθ=t
と置換

という基本に沿って計算です



よって答えになります




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2013-12-22 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2000前期「5」理系

東京大学2000前期「5」理系

問題文
1_20131217232844a2e.jpg

(1)
和が9になってはならはいことから
次のように組にして考えればよいのではないかと思いました

同じ組から数字をふたつとってはいけません
たとえば
1をどこかで使えば、その組である8はもう取れないという考えです
2_20131217232846564.jpg

組で考えることが納得できれば実はこの問題は非常に簡単になります

整数列は条件が厳しいところから考えるのがセオリーですので
千の位が0ではいけないという条件から考えていきます

千の位が決まれば、
その数字の入っていない残りの4組からひとつを選びその中の数で2通り

残りの3組からひとつを選びその中の数で2通り

残りの2組からひとつを選びその中で2通り
とすれば4桁の数が得られます

3_201312172328480b9.jpg


(2)
並べてみると2000番目の数字は4桁としてよさそうです
4_20131217232850b18.jpg

整数列のセオリー辞書式配列をもちいてガリガリ並べていきましょう
数字の選び方は(1)と同じですね
5_20131217232852e38.jpg

次に百の位もやります
6_20131217232912e9e.jpg

十の位もやってもいいですが、2001番目は”86??”の数字の中で一番大きいものとなっていますよね
なのでここから逆そうすると少しだけ計算が楽できます

こういうのは先ほどまでの画像のようにいちいち書き出しておくとイメージしやすくなります
7_20131217232914c61.jpg



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京都大学

[物理]京都大学


2000
【1】



テーマ : 大学受験
ジャンル : 学校・教育

2013-12-17 : 京都大学p : コメント : 0 : トラックバック : 0
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デジャヴ

こんばんは

最近ふと思ったのですが、
センター古文漢文とか記事古いから修正していかないといけないですね


解答は昔書いたものですが
いま、自分が他人の目線として見直してみるとやっぱり陳腐な部分がたくさんあります

記録を残しておくとこういう時に楽しいですね(^o^)

さて、他人の目線として思うことがほかにもあって
例えば問題集あるじゃないですか

50問あったとして久しぶりに解いてみて、
間違えたところが昔の自分でもペケが着いているところだという。

すなわち苦手って変わらないんだなー
と思うとなかなか興味深いです

特にまとまった話題でもなくただ何と無く思ったことを書いた日記となりました(^o^)

2013-12-17 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1994前期「1」理系

東京大学1994前期「1」理系

問題文
1_20131216184825fdf.jpg


(1)
f(x)>0を示せばいいだけなので色々方法はあると思いますが
ここでは平方完成をしてみたところ、うまくいきました
2_20131216184826efa.jpg



(3)
g(x)=0となり、それがただ一つの解を持つみたいです
x→∞のときg(x)→∞
x→-∞のときg(x)→-∞
となることから
g(x)が単調増加で有ることを示せばよさそうです

g'(x)>0を示すので、
(1)のように平方完成をしてみました
3_2013121618482820e.jpg


単調とわかりましたからg(x)が
x=-1のとき負
x=0のとき正

とわかれば、連続性から絶対この間にg(x)が0となる部分があると言えるわけです
4_20131216184830451.jpg




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[数学]東京大学2000前期「3」理系

東京大学2000前期「3」理系

問題文
1_20131214221743f26.jpg


(1)
与えられた漸化式をpの式に置き換えて解けという問題ですね
漸化式を解くと等比数列型のパターンだとすぐわかりますが、
式を書くのが大変なので文字を置き換えて計算しています
2_20131214221744455.jpg


等比数列型のパターンによって答えが得られます
3_20131214221745307.jpg



(2)
まず、(1)からkh=aと置き換えていることはわかりますね
それを式に起こしてみるとシンプルなことがわかってきました
4_20131214221748b9f.jpg


よって計算します
極限において指数関数が現れた時は
n→0において
lim(1+x)1/x=e
を思い出せます

今回はその変形となっています





(3)
最後はガリガリとした計算のみとなっています
計算間違いのないように気をつけて行きましょう
6_20131214221816c0e.jpg
7_201312142218173bb.jpg
8_20131214221819b2d.jpg
9_20131214221821249.jpg





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バグ

いろいろ弄ったところ
レイアウトがバグってしまいまして、
修正してみました

・メニューが縦長になりすぎていたので左右に振り分けました(それでも長い)

・最もよく見られるページである東大数学を最上部で(私にも)みやすくしました

・イメージカラーを紺から水色に変更しました

ちょうせいは以上でござります

過去の記事がバグっていたりするかと思いますが
一人でやっているため修正に時間がかかるかもしれませんのでご了承下さい!
(お手伝いさん募集やで)


よろしくお願いします


2013-12-14 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[化学]センター試験2013第一問

センター試験2013第一問

(1)
同素体はスコップとか覚えましたね
S,C,O,P
1_201312131953141a6.jpg



(2)
電子式を書くんですね
絵を元に電子を数えましょう
2_20131213195316c65.jpg


(3)
参考書などの典型元素の表をみると
結構、金属元素がふくまれていましたね
3_20131213195317ee4.jpg



(4)
質量パーセント濃度や密度やモル濃度の定義に代入します

これらはあくまで比率なので適当な値を選んで進めて構わないはずです
今回は溶液の質量を100gとして計算してみました
4_2013121319531991d.jpg



(5)
1molあたりアボガドロ数個の分子があります
なら原子は何個なのかを考えます
5_20131213195329dd0.jpg



(6)
組成式を文字でおいてしまって
計算して行きました
反応前後でMの含まれる粒子のモル数はかわりません

よって共に1molですが、質量がかわってしまうという話ですね
6_2013121319533139f.jpg


(7)
炭酸のプシュっというやつは酸化還元反応しているわけではありません
7_20131213195326748.jpg



2013-12-13 : センター試験 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1985前期「6」理系

東京大学1985前期「6」理系

問題文


(1)
z=0とありますが(2)で積分する必要があるため、z=kとして計算して行くことにします
文字rを持ち出せば計算量はそこまで変わりません


三角形FkGkHkの面積を求めるために、
直線の式を求めて座標から計算してみました



1:2:√3の比を用いて面積を求めて行きましょう


これによって面積が求まります
棒が三本と中の抜けた三角形と円一個の和がもとめる面積になります



(2)
初めにz=kとしているため
-1から1までを積分するだけになります





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[数学]東京大学2001前期「2」理系

東京大学2001前期「2」理系

問題文


積分範囲が定数の定積分があります
これは計算結果が積分変数に対して定数となりますよね
こういう場合、文字でおいてしまうのがセオリーです




文字で置くことによってf(x)の積分が計算できるようになります
ここからAとBの値を求めに行きましょう




①②からAとBがただ一つであるようにa,bの条件を決めます
ここでは行列を使うと楽でした

行列を使った連立方程式の解法はおなじみのものですね


AとBを求めてf(x)の式に代入しましょう





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[数学]東京大学1992前期「3」理系

東京大学1992前期「3」理系

問題文


まず、半径1の球上に四点があることから
aとbの関係をえます


内接球の半径は体積を2通りで表すことによって得ることが多いですよね
よってこの方針を試してみました




得られた式の逆数をとっていじることで
シンプルに計算ができました


ここから最小値を得るため、右辺の数が正なので
相加相乗平均の関係をつかいます

a>0,b>0において
a+b≧2√ab



式をいじった結果abの値の範囲がわかれば良さそうですよね
(最小値はa=b)

ここではじめのa2+b2=3が生きてきます
ここでも相加相乗平均の関係をつかいます

等号成立条件はa=bでかわらないので、このとき確かに最小値を取れることになりますね




いま使った式を用います
二乗を外すわけですね

するとまたabの値の範囲がわかれば良さそうな形になっています
これはすでに得られていました





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(2012/07/23)
安田 亨

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2013-12-10 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1989前期「5」理系

東京大学1989前期「5」理系

問題文



y軸に関する回転体ですが
回転させる曲線の形がわからないと考えることは難しそうです

形を考えるために文字tを用いることで計算量を減らす工夫をしています


g'(t)=0を考えるわけですが
形を見る上では、
交点の値を求める必要はありませんね


従って概形が書けます


このグラフの形はy軸回転のものとしては
スタンダードなものなので、パターン問題となっています

曲線に名前をつけてy方向に積分します
外側の曲線を回転させてできる円から、
内側の曲線を回転させてできる円との差をとって、
ドーナツみたいなものを積分します


ここで部分積分を使います
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x) + ∫f'(x)g(x)dx




のこりはシンプルな積分になっています
計算が大変かと思いきや、値が0になったりしてサクサク進めることができました




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2013-12-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学1987前期「2」理系

東京大学1987前期「2」理系

問題文


接するということは共通接戦を持つことだとあります
点(t,f(t))でf(x)とg(x)が接する

f(t)=g(t)
かつ
f'(t)=g'(t)

というのは今ならよく知られていますが
知らなくても注意書きがあるので問題ないはずです



これらを解くとa,bがtの式として得られます


ここからtを消去してaとbだけの式にするのは大変です
そのときは
a,bを媒介変数tによって決まる変数として、そのまま計算する
といいですね
では、微分して増減を考えます
するとグラフの概形がわかりますが候補が二つ挙がってきました


このどちらが正しいのか考えて行きます
輪っかを作ってしまう方を考えましょう

輪っかを作るとき、ab平面において同じ点を二回通ることになります

この点(a,b)はあるtで必ず通りますから

同じ点を二回通る

tとは違うsで同じ座標を表すことができる

と捉えてみました
つまり
at=as
bt=bs
の等式が成立するかを考えました


従って概形は以下となります



共有点は連立すれば出てきますよね
この答えがx=tのみであるということです
因数分解して出て来た解の候補がすべてtであることをかんがえます




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[数学]東京大学1986前期「3」理系

東京大学1986前期「3」理系

問題文


(1)
ベクトルの成分を文字でおいて計算して行きます

まず、大きさが1なのでそれを使います


平面とあるベクトルが垂直
⇔平面を作る二つの独立なベクトルとあるベクトルが垂直

であることを使います

0はABCを含む平面なので
ABベクトルやACベクトルを考えます
これらは互いに独立(平行でない)ですね


式が十分集まったのでこれらを解きましょう



(2)
lに対してぐるっと回転します
回転軸がlであることから
回転で得られる面から垂直なベクトルは
lとのなす角を保ったままになっています

ベクトルのなす角を使う公式は内積があります
なのでこれを使うことができるわけです


(1)で求めたベクトルとnベクトルのlとの内積が等しくなりますので計算します


yの値の範囲を求めたいですが
yとzの等式になってしまいました

ここでx,y,zは全て実数なので
実数zが存在するためにはyの範囲が制限されねばならないことになります

ここからyの範囲が出せますが
求めたいyを主役にするのではなく、
zの存在範囲から間接的に求める
やり方はよく見られます

今回は
z2≧0となるという制限からyを間接的に得ることになっています



もう一方のベクトルも同様に計算します


以上からyの大きさがわかるわけなんですね




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江頭になろう

こんにちは

冬になったらひたすらお勧めしたいものがあるのよ

それがこれ


(アンダーアーマー)Under Armour UAヒートギアコンプレッションSSモック

(アンダーアーマー)Under Armour UA HGコンプレッションレギングスII

要するに女の子のタイツみたいなやつのことです
野球部が着てるアレね

これめっちゃいいんですよ


なんだって
・とにかく温いから朝起きるのが簡単になる
・外にいくとき薄着で出られる
・生地が薄いからごわつかない
・安い←受験生にはここが大切

こんなかんじかな
今もはきながら記事かいてますが、半そでになっています

まぁこれはやりすぎとしても
ぜひデポとかに見に行ってほしいね

その価値はあるとおもいます



2013-12-03 : つらつら : コメント : 0 : トラックバック : 0
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[数学]東京大学2008前期「2」理系

東京大学2008前期「2」理系

問題文


(1)
問題では白と黒の区別がなく、
同じ色の枚数だけに注目していることがわかります
よって枚数だけに注目して文字をおいてみましょう


n回目に初めて4枚揃うので
それまでは2枚と3枚を行ったり来たりするはずです
その様子を矢印をつかって書いてみると案外スッキリとしたものになります

実験すれば奇数回のときは4枚になり得ないことはすぐにわかると思います



(2)
(1)が出来たなら(2)も似たような問題です
全部の色が揃わないようにぐるぐるループしてから
最後に色が揃うようにすれば良いですね

実験すれば偶数、あるいはn=1のとき確率は0とすぐに分かるはずです





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ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

質問やご指摘等ありましたら下のメッセージボックスかコメント、あるいはメールをこちら↓にお願いいたします
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