[数学]慶應義塾大学医学部2012前期「3」

慶應義塾大学医学部2012前期「3」

問題文


以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
ただし設問(2)において,適切なtの値が複数個ある場合は,それらをすべて記入しなさい。
 放物線y=x2をCとする。C上に点P(-1,1)をとり,PにおけるCの法線とCとの
交点のうち,Pと異なるものをQとする。またtを実数として,点P通って傾きが
tの直線をl1とし,点Qをとおってl1と直交する直線をl2とする。
l1とl2の交点をRとする。        ・・

(1)点Qの座標は((あ),(い))である。
(2)点Rが点P,Qと異なるようにtを変化させるときの△PQRの面積の最大値は
(う)である。また△PQRの面積を最大にするtの値をすべて求めると
  t=(え)である。
(3)点P,Qとは異なるC上の点T(u,u2)を考える。
TPベクトル・TQベクトル<Oとなるようなuの範囲は
            (お)< u <(か)
である。
(4)点Rが,不等式y<x2の表す領域に入るようなtの範囲は
            (き)< t <(く)
である。

(1)
法線の話やから微分して傾きをだします
それとCとの交点のひとつがQですね



(2)
とりあえずl1とl2を出しときましょう


ここからRを出して微分して~ってやってもいいんですが計算がむちゃくちゃ大変でした

というわけで図形的に考えてみました
まず、PQは定点なので三角形の底辺に当たる部分は一定です

となれば高さが出ればいいわけですが
Rは直角を保ったまま動くわけですよね
ということは

RはPQを直径とする円周上を動く

として良いはずです

円を書けば高さが最大になる場合のRは一目瞭然やん


面積の最大値はこのRの位置の時なので
高さは半径に当たりますね



Rはl1やl2の点やから代入すればtが得られます



(3)
内積計算です
展開せずに計算しないと結構大変です



(4)
絵を書きますとすぐにわかりますが
(3)の展開から考えると

1/2 < u < 3/2のときに鈍角
つまり円の内側に放物線上の点があるとわかりますね
だから概形が描きやすくなるんじゃないかなと思います

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2013-07-04 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


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