[数学]京都府立医科大学前期「3」

京都府立医科大学前期「3」
aを正の実数とする。座標平面において, 曲線C1 : y = √a(x+2) (x≧−2)と
曲線C2: y = √(x2+2x)( x≧0)を考える。
曲線C1と曲線C2およびx 軸で囲まれた部分の面積をS1(a)とし,
曲線C1と曲線C2および直線x=2aで囲まれた部分の面積をS2(a)とする。
(1)∫(-2→2a) √(ax+2a) dx + を求めよ。
(2)f(a)=S1(a)−S2(a)とおく。
関数f(a)が極値をとるようなaの値を求めよ。
(3)∫(0→2a) √(x2+2x) dx > 2a2 であることを証明せよ。
(4)S1(a)=S2(a)となるようなaが存在することを証明せよ。


(1)∫(-2→2a) √(ax+2a) dx + を求めよ。
積分系は問題書くのがたいへんやな
これは普通

aは定数でxについて積分するだけ
212.jpg



(2)f(a)=S1(a)−S2(a)とおく。
C1とC2の交点を連立して求めたら
x=aとすぐわかります
イメージはこんなんで
213.jpg


S1とS2
214.jpg

だからf(a)は
215.jpg

ほんでな
値を直接求めにいこうと思ってんけど
むりなんよね
なんでかって
√(x2+2x)
の積分ができへんのよ。高校の知識ではな!
参考に
マスマティカより
MSP23282374262244840751_70.jpg

なんか理解できへんほど難解なわけや
だから方向転換して
このまま微分してみることにした
216.jpg


ここで悩んだのはやっぱ√(x2+2x)
こいつやわ
これの原始関数をFとすると
積分したやつは
F(2a)-F(0)
こんなんなるやんか
で、aについての変数は
F(2a)のとこだけやな
だから微分したらF(0)の部分がきえるんだな
それがわかったらもう普通やから

f'(a)は
217.jpg

増減表は
218.jpg

極大値があるわけで
220.jpg



(3)∫(0→2a) √(x2+2x) dx > 2a2 であることを証明せよ。
これはさっきとおんなじ感じで
一気に微分してみた
220.jpg



(4)S1(a)=S2(a)となるようなaが存在することを証明せよ。
f(a)=S1-S2=0となるaがあることを示せばいい!

(3)をなんとかつかってみると
221.jpg

これの図をかんがえてみるわけやな
223.jpg

となって

a=αでS(α)=S(α)
になる

これはけっこう計算汚いし重かったな
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2012-07-30 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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