[数学]東京大学1997前期「1」理系

東京大学1997前期「1」理系

問題文


(1)
まず、Cの座標の候補としては二つありますね
しかし一個は必ず負になるので考えなくても良いことになります

三角形OABは直角を含むので
∠Aと∠Bが同時に60度を超えることはありません

よって二つの角度が60度になるためには
Cの座標が第一象限以外に入らねばならないからです


Cの座標を求めるには、
回転行列、ABの垂直二等分線など様々あると思いますが

ここでは単位ベクトルを使ってみました
ABに垂直な単位ベクトルを考えるわけです


この単位ベクトルを用いてCの座標を求めます
ここで有名な1:2:√3を用いています


A,B,Cすべてが領域Dに含まれるので
これら座標についての不等式を立てれば良いです




(2)
まずは面積を出して見ます
すると式の形からSは
(a,b)と原点との距離が遠いほど大きくなることがわかります


領域は対称性があります
さらにdの長さは
bが同一であればよりaが大きい方が良いですよね
そこからSが最大となるときには
bとaは関係を保って動かす時であるとわかります


もとのSに代入すれば答えとなります
対称性があるとして無視した点F'を忘れないようにしましょう

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2013-11-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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