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[2009数学]東京工業大学2009前期「4」

東京工業大学2009前期「4」
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問題文
1_2014030517175221c.jpg

xyz空間の原点と点(1, 1, 1)を通る直線をlとする。
(1) l 上の点 ( t/3 , t/3 , t/3 )を通り l と垂直な平面が,
xy 平面と交わってできる直線の方程式を求めよ。
(2) 不等式0≦y≦x(1-x)の表す xy 平面内の領域を D とする。l を軸として D を
回転させて得られる回転体の体積を求めよ。




span style="color:#0000CC">(1)
平面は2つの独立なベクトルの定数倍で表現できる
ので直線lに垂直なベクトルを二つ用意しました

そして通る点(t/3,t/3,t/3)をふまえて平面の座標表現ができます
2_20140305171753337.jpg

αがxy平面と交わるのでz座標が0になりますよね
これによって勝手においたa,bを消去します
3_201403051734425ff.jpg



(2)
回転体は回転軸に垂直な断面を考える
といセオリーからいきましょう

(1)からlに垂直な( t/3 , t/3 , t/3 )を通る断面がわかりました
これと問題の不等式の部分の交わる部分をかんがえるわけです

つまりz=0のときのlに垂直な平面の部分はx+y=tだったので
これと問題の不等式の部分の交わりを考えて、
回転させるわけですね

断面はドーナツ型になるやつなので、回転軸から
最も遠い点をM
最も近い点をm
としたら
0≦t≦1においてm,Mは図のようになるわけです
4_20140305171755a79.jpg

だから断面積S(t)はこうなります
5_20140305171757a1b.jpg

これでtを0→1にするわけではありません
足し合わせるのは回転軸に平行な方向なので
tの変化に対してのその方向の変化をかんがえます
8_20140305180006e34.jpg

これで足し合わせられます
計算しましょう
6_201403051718283c5.jpg

ちょっと計算が大変なので分けて考えました
7_2014030517182985f.jpg




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ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

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