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[2015数学]京都大学2015前期「3」理系

京都大学2015前期「3」

問題文



(1)
曲線があって、条件に対する接線が一本しかないとあります。
曲線の形が下に凸なカーブなので

接線が一本とは接点が一個

と言い換えることができます。よって接点が一個であるということを示しに行きましょう。
1_20150303005915d50.png

最後の式を満たすようなtが一個であるといいわけです。
直接求めるのはつらいので右辺の概形を書いてみて、それがy=0と交わるかどうかを見ることにします。
2_201503030059178d2.png

これの増減を考えて図示すれば確かに1個しかありません。
7_20150303120704ca3.png


(2)
これはまずan,an+1はどこなのかを考える必要があります。
よく考えると、通過する点のx座標は(1)におけるaであるし、接点のx座標はtです。
なので同じ計算を行うことになります。

そしてその式を求めたいものの形に変形します。
4_2015030300592026c.png

答えの極限を求めるには右辺の極限を求めればよさそうです。
さらに予想として右辺の1/ean+1は0に収束するんじゃないかなと予想できます。
(絵をかきまくってみるとan,an+1は狭まっていくのでなんとな~くそんな気がしてきます。)
そしてan< an+1であるだろうことも予想できます。

このことを言えばよさそうですが式的にみると次のように書くことができるとおもいます。
5_20150303005921eff.png

従って結論になります。
6_20150303005930e01.png



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(2014/05/22)
教学社編集部

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ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

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