[数学]京都大学2006「1」

この年の数学は6完できたワーイ
完成度はしらん

京都大学2006「1」
Q(x)を二次式とする。整式P(x)はQ(x)で割り切れないが、{P(x)}2
Q(x)で割り切れるという。このとき2次方程式Q(x)は重解をもつことを示せ


二次方程式のおきかたはこうしてみよう
二次方程式の解をα,βとすると、
Q(x)=a(x-α)(x-β)とおける(a≠0)

だってαとβに着目したいから
Q(x)=ax2+bx+c
とかおいたら余計な記号が増える気がして

ほんで黄チャ数Ⅱ基本例題47とおんなじことをしてみるわけだ
P(x)をQ(x)で割ったときの商をR(x)とすると
P(x)=R(x)Q(x)+sx+t (sとpは同時に0とならない) と書ける
sとpが同時に0になったら割り切れることを意味してまうからな

二乗してみる
{P(x)}2={R(x)Q(x)}2 + s2x2 +t2 +2R(x)Q(x)sx +2R(x)Q(x)t +2sxt

Q(α)=Q(β)=0より
{P(α)}2={P(β)}2=0 となるから、

x=α,βを代入する
0=02+s2α2+t2+0+0+2sαt
0=02+s2β2+t2+0+0+2sβt
整理
0=s2α2+t2+2sαt
0=s2β2+t2+2sβt
変形
0=(sα+t)2
0=(sβ+t)2

0=sα+t
0=sβ+t
差をとって
s(α-β)=0

s=0のとき
t=0となって、これは不適

よってα=βとなって

Q(x)は重解をもつといえる!!

こんなもんなんやな
この問題は難しい発想もないし落としてはいけんな
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2012-07-19 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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はじめての模試の心境と成績表概略


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