[数学]大阪大学2003後期「4」

大阪大学2003後期「4」

問題文




πが無理数であることの証明問題や
珍しかったからやってみた

(1)
まず、帰納法で示す問題やな

不等式は差をとって0と比較しましょ



さらに仮定する


今回は残念ながらこの不等式にn=k+1の項を加えても嬉しいことはおきませんね

だからさっき同様差をとって評価することを考えます
このとき関数を微分するんやけど、
そこでハッピーになります




上の不等式をつかえってかいてるので
形をみればそっくりです
eの項に注目してxにπuを代入しでる


これに積分のやつを掛けたら求める形になるわけやな


さて、不等式をだしたいわけやけど、
積分を掛けることでもとの数よりちいさくなればいいねん

つまり、積分が1以下ならば不等式を使えるわけや
説明しにくいから式をみてくれ


では1以下であるかどうかやねんけど
0≦t≦1であるならば確かにこのtの関数は1以下といえます

それを積分したものも1以下になるねん

0≦t≦1ってのはもちろん積分区間内を指してるねんで


以上より示されるはずや

(2)
それぞれを頑張って計算するわけやな




漸化式やねんけどtの次数がさがるように変形したらいいねんな

部分積分でいきましょ
そしたら微分で次数がさがるわな




(3)
I0やI1は上の問いで計算してるので
それをつかう


漸化式からInをAnに変形できるねん

そこで帰納的にわかることから示してみた



Inはいままでの流れで正であることはわかるとおもいます



"いまの式をつかって"

といわれてもどうしたらいいねんやろうか

とりあえず(1)の式のuをpとしてみて不等式をつくってみた



そこで、正の整数である条件を考えたところ

Aは少なくとも1以上やろ?
てことは左辺は少なくともn+1以上やん


ん?

左辺はnによって変化する数やのに右辺は定数?

ってなりました

そもそも(1)の式はnがどんな大きな数でも成立するねん
だって左辺と右辺両方がxによる変数やからな

今回は右辺が止まってるのに左辺はでかくなり続ける

つまりいつかは追い越すわけやな
これは矛盾といえますね

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2013-02-09 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


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