[数学]京都大学2000後期「6」

京都大学2000後期「6」

問題文


(1)
積分区間が変化するから、t=tanθとおいてもθの変化がわからないわけか

法線の方程式にはf'(x)がひつようなわけだから
原始関数をかんがえると良さそうやな

積分後の関数を適当においてしまうんですね


これを微分したらf'(x)が出るわけで、
法線が出せるんやな


必要な数値f(1)やf'(1)の計算をします


以上より法線がだせたわけやな



(2)
f'(x)がわかってるから、
f"(x)も計算できるわな
だからf(x)のグラフの概形がわかるねん


これを計算するわけやから
式はこんなんになると思います


さて、積分のところの計算をするわけやけど
xが変化やから積分区間は不明やからお手上げかと思ったけど
適当に文字をおいて突っ込んで行くことにした
これは難しめの大学でちらほら出るけど経験がないと無理だと思います
自分はたまたまやってました



すると、
xによって変化するαをxについて0→1で積分するというこまったことになるわけ

積分するものと積分変数を揃えてみたらできたわけや
x=tanαの関係式から持ってきました


さて、tanα単体の積分は定番のやりかたがあるねん
置換するために分母分子におなじものをかけるわけやな



これで答えがだせるわけやな

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2013-02-23 : 数学過去問 : コメント : 1 : トラックバック : 0
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y=f(x)がy=tanxの逆関数ということをつかえばスムーズで見通しのたったものになりますよ
x=tanα
f(x)=α
また、逆関数でよく使う積分と面積の関係を用いると
∫[0,1]f(x)dx+∫[0,π/4]tanθdθ=π/4
となりますから楽になります
参考までに
2014-12-23 16:47 : URL : 編集
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ゆかベクトル、せき

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