[数学]京都大学2005前期「4」

京都大学2005前期「4」
a3-b3=217を満たす整数(a,b)の組をすべて求めよ。

整数問題はまず因数分解やる

(a-b)(a2+ab+b2)=7・31
だから

a-b=k
a2+ab+b2=217/k
(k=±1,±7,±31,±217)

a=k+bより、もうひとつの式に代入して整理すると
3b2+3kb+k2-217/k =0・・・①

コレを解いたらkに対するbが出てくるねんけど
やっぱ数を減らすのが整数ってとこあるし

bは整数だから

判別式をDとしたら
D≧0かつDが平方数じゃないといけないよね
141.jpg
きたねぇw

D≧0

868≧k3(k≧0)
868≦k3(k≦0)

D≧0かつDが平方数となるのはk=1,7のみ
kをそれぞれ①に代入したら、
k=1のとき、(a,b)=(-8,-9),(9,8)
k=7のとき、(a,b)=(1,-6)(6,-1)

この4組である。

整数はやっぱ因数分解から!
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2012-07-21 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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