[数学]大阪大学2011前期「2」

大阪大学2011前期「2」

問題文



線分PQをかんがえるねんな


これはやることは回転体の積分やから
回転軸に垂直な部分との距離を考えるわけやな

だけど断面の位置やθの値によって
あれ?最長となるときってどこになるんや???
ってなったとおもいます


さらにこの直線の描く部分を直接xyの関数として求めるのは厳しいやろ

もっかいまとめると
・x座標
・角度θ
が動くからわけわからんのやろ

さて、
回転体でのセオリーとして
座標を固定して断面積を考えるというのは常識やろ
せやからのこったのは変数θだけになりますやん

つまり
x=kにおいてθをうごかした時の最大となる回転部分をさがすわけや
ちなみにθ=π/2はこの線分の傾きが0のときですね


もちろん角度が大きくなりすぎたらここでのr=0となって長さがなくなりますから
考えるべき角度は限られてるので
その範囲だけを考えることにする


こっから
「θが動くときのrの最大値」=「変数θでのrの最大値」をだすねんけど
これはただの微分のやつになるよね


さて、k=8cos3θとなるθはひとつしかありません
それは
・固定するkの値の範囲
・y=8cos3θの形
からわかるねんけどな


これによりx=kとしたときに
回転する棒の長さが最大となるときのθがわかります


で!断面積がだせるようになるわけやな


あとはこの断面を足し合わせたものが体積になるわけですね

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2013-02-27 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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