[数学]京都大学2006後期「5」

京都大学2006後期「5」

問題文



さて、体積の情報があるから書いておきましょう
時間tにおける排水された水の体積V(t)と表現されてるから

求める時刻をTとしてこんな感じに表してみた
ややこいけど"排水された"体積やからな



さらに問題文から与えられた変化率の条件


これをいじるわけやねんけど
変化率の条件がわけわからんのやな
右辺も時刻tで変化するわけやから
いわば変化率も変化するわけや

とはいうものの受験レベルでのこんな類の問題はわかることから言い換えていくと分かることが多いので
やっていきます
排水された水の体積V(t)は実は与えられてる変数hで表すことができます

Hに対してh
Rに対してr

といったふうにrをおいてしまったら出せるんですね


これで出せます
イメージは以下です



これで左辺の分子部分はいじれるわけや
どうやるかっていうと
微分の変数をかってに変えてしまうやつですね
これは数学Ⅲでよく見る変形ですね



ア、イからこれらを等号で結びます
さらに変数を分離してみると
物理をやってる人は見慣れた形になったんじゃないかなぁ


ここまできたら積分したくなってください
するとこんな感じになる


さて、Cをださなあかんねんけど
これについてはわかっている特定の値を代入することで求めます

だってCは定数やからtやhにかかわらず一定やもん
適当に代入して都合がよければそれでいいやん



これで一応tを変数として高さhが求まるといった単純な関数になりました
求めるのはすべて排水されたとき

すなわちh=0のときのtになりますね

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2013-03-03 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
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