[数学]京都大学2005前期「5」

目に残る記録が増えてきて楽しいわー
京都大学2005前期「5」
k を正の整数とし, 2kπ≦ x ≦(2k+1)πの範囲で定義された2 曲線
C1:y=cosx
C2:(1-x2)/1+(x2)
を考える。
(1)C1とC2は共有点をもつことを示し, その点におけるC1の接線は点(0,1)を通る
ことを示せ。
(2)C1とC2の共有点はただ1 つであることを証明せよ。


(1)C1とC2は共有点をもつことを示し, その点におけるC1の接線は点(0,1)を通る
ことを示せ。

これはじめ微分して、単調増加とかをしめしてーとかやろうとおもったんやけど
迷宮入りしたから、共有点の座標を一気に求めようとかやめた
162.jpg

これはいいプラスマイナス
忘れてたわ
中間地の定理ってやつをつかうんやな

平均値の定理はすごい気を使うけど
こいつのことすっかり忘れてたわ

f(x)は連続だから、中間地の定理より
f(α)=0となるαが2kπ≦α≦(2k+1)πに存在する

f(α)=0
(1-α2)/(1+α2) = cosα ・・・①

C1の接線は

y=(-sinα)(x-α)+cosα

(0,1)を通るかな?

x=0のとき

y=αsinα+cosα
163.jpg


通ったね


(2)C1とC2の共有点はただ1 つであることを証明せよ。
これは(1)によって
C1の接線はどんなやつだって!
(0,1)を通るといわれたわけやな

ほんじゃぁ
接点(交点)が何個出てくるかをしらべて
x=αだけってことがいえたらハッピーなわけやな

接点(t,cost) (2kπ< t <(2k+1)π)
とすると

(0,1)からC1に引いた接線は

y=(-sint)(x-t)+cost

(0,1)を通るから

1=tsint+cost
tsint+cost-1=0

g(t)=tsint+cost-1とおくと
g'(t)=tcost

g'(t)=0のとき
t=(2k + 1/2)πだから
増減表
164.jpg

よし
g(t)=となるtはひとつしかない!!

といえたわけやな

これは接点が一個しかないって考えなあかんところが
むずかしかったな
どんな接線も(0,1)を通ると解釈すると気付いたらすぐだけど

関連記事


2012-07-24 : 数学過去問 : コメント : 0 : トラックバック : 0
Pagetop
コメントの投稿
非公開コメント

Pagetop
« next  ホーム  prev »

プロフィール

ゆかベクトル、せき

Author:ゆかベクトル、せき

はじまり

↑初めて受けた代々木医学部模試
6個のW(W判定+White判定)から始まったD(daigakusei)のブログ

素直(?)な目線で
受験問題を解いたりしてみています。
0点から名前掲載まで幅広く経験しています。


はじめての模試の心境と成績表概略


大阪市立大学に在籍中です

質問やご指摘等ありましたら下のメッセージボックスかコメント、あるいはメールをこちら↓にお願いいたします
yukavector☆gmail.com(☆を@にしてください)

大学受験 ブログランキングへ

検索フォーム

お知らせ

【このブログについて】
『1』解説は「続きを読む」をクリック

アクセス急増リンクまとめ 【よくある疑問】 【医学部への参考書】 【0から古文】

スポンサードリンク

アクセスランキング

[ジャンルランキング]
学校・教育
264位
アクセスランキングを見る>>

[サブジャンルランキング]
受験
53位
アクセスランキングを見る>>

FC2カウンター

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる